lunes, 17 de febrero de 2014

Algunas notas

En la música, de entre todos los subconjuntos de notas, uno de los que ha recibido mayor atención que el resto es el llamado escala mayor. El universo de notas usado incluye todos sonidos equidistantes respecto de sus consecutivos, cuyo intervalo mínimo es llamado semitono. A su vez, cada 12 de tales intervalos se establece uno que se llama octava donde aparece, si bien no el mismo tono, uno que recibe el mismo nombre, y se le parece.

Tenemos, por lo tanto, doce denominaciones, una de las cuales es do, que también se escribe, a veces, c. Dado que el oído puede distinguir entre distintas alturas entre cualesquiera dos sonidos así definidos diferentes, es posible ordenarlos. La escala mayor mencionada es toda selección de notas que, dada una de ellas (que recibirá el nombre de tónica) se escojan aquellas otras 6 cuyas distancias sean (medida en cantidad de semitonos) 2, 4, 5, 7, 9 y 11 (comúnmente se dice: segunda mayor, tercera mayor, cuarta, quinta justa, sexta mayor y séptima mayor).  Si en lugar de semitonos se usa como medita el tono, las distancias serán expresadas en magnitudes equivalentes a la mitad de lo dicho: 1; 2; 2,5; 3,5; 4,5 y 5,5.
Dado que las notas son doce, existe una escala mayor por cada una de ellas, lo cual genera algunas dificultades. Por ejemplo, Do mayor es la escala do, re, mi, fa, sol, la , si. Pero Si mayor no es si, do, re, mi, fa, sol, la; sino si, do#, re#, mi, fa#, sol#, la#, siendo los “#” sostenidos, es decir, la nota siguiente a cada una de las que altera. La dificultad se produce cuando no se tiene mucho tiempo para deducir las alteraciones de las escalas, por lo que resulta útil tener alguna forma que lo facilite.

Las alteraciones se escriben a la derecha en cada línea del pentagrama, y se ordenan así.

Los sostenidos
 fa           do          sol         re           la            mi           si


Los bemoles
Si            mi           la            re           sol          do          fa

Nótese que en un caso son las quintas mientras que en el otro las cuartas, y que representan los órdenes inversos.

Podemos utilizar números para designar la cantidad de alteraciones de cada una de las escalas. Por ejemplo,  0 sería la escala sin alteraciones, 3 la escala con tres alteraciones (fa, do y sol) y -4 la escala con cuatro bemoles (si, mi, la, re). Tenemos entonces:

Do =      0
Do# =    7 o -5
Re =       2
Mib =    -3
Mi =       4
Fa =       -1
Fa# =     6 o -6
Sol =      1
Lab =     -4
La =        3
Sib =      -2
Si =         5 o -7

Vemos que en tres casos tenemos tres opciones diferentes.  En orden sería:
7
C#
6
F#
5
B
4
E
3
A
2
D
1
G
0
C
-1
F
-2
Bb
-3
Eb
-4
Ab
-5
Db
-6
Gb
-7
Cb


Donde C# = Db, F# = Gb y Cb = B.

martes, 14 de enero de 2014

Riesgo e incertidumbre

Desde la época de Kant, la razón especulativa ha sin duda extendido sus dominios. Por supuesto, no hacia aquellos terrenos que en su crítica habían quedado vedados. El filósofo había trazado una línea que apuntaba a separar la especulación de la acción, y sólo se había interesado por la racionalización de aquellas cuestiones prácticas que involucraban un determinismo puro, es decir, un determinismo de la voluntad sin miras a ningún fin.

No obstante, muchas cuestiones prácticas involucran consideración por los fines, aún cuando los mismos puedan no estar garantizados una vez elegida una determinada voluntad. Existen dos aspectos de una elección así. Por un lado, el resultado mismo de la acción puede no estar determinado por completo, pueden haber distintos resultados posibles. Por ejemplo, uno puede querer ganar al truco, pero ese resultado no es seguro, aunque el jugador sepa, a antes de empezar, que o bien ganará o bien lo hará su contrincante. El resultado no está, pues, determinado por la voluntad. Esto recibe habitualmente el nombre de riesgo, es decir, el hecho de que el resultado no es necesariamente el que se busca. Por otra parte, también puede ocurrir (tal y como lo hace en el ejemplo mencionado) que la probabilidad que es propia de cada uno de los resultados sea desconocida. Esto es la incertidumbre propia de la decisión en cuestión.

Veamos un ejemplo para notar mejor esta diferencia, que recibe el nombre de experiencia de Ellsberg. Supongamos que hay una bolsa con tres bolas. Sabemos que una de ellas es colorada, y las restantes pueden ser o bien color azul o bien verde, pero no sabemos si son ambas de un mismo color o cada una de uno distinto. ¿Qué color conviene elegir, entonces, si se ofrece un premio de $1000 a quien acierte el color de una bola obtenida al azar de dicha bolsa?

En este caso existe riesgo. Presumiblemente el agente quiera elegir exactamente el color de la bola que se obtenga aleatoriamente. Pero nada le garantiza ese resultado, y existe por lo tanto un riesgo de no obtenerlo. Ahora bien, hay algo que diferencia entre elegir colorado o los otros colores. En el ejemplo, se conoce la probabilidad de que el color sea rojo, a saber, 1/3. Pero no se conocen las probabilidades de que surjan los colores azul o verde. Es decir, además de riesgo, la elección de estos dos últimos colores implica incertidumbre.

La “paradoja de Ellsberg” es el hecho de que alguien elija colorado para el caso anterior y también lo haga en el siguiente:

Sean nuevamente, tres bolas, una roja, y dos que pueden ser color verde o azul (igual que antes). Pero los $1000 serán para el agente en caso de que el color que elija no sea el de la bola obtenida aleatoriamente.

Lo curioso es que si alguien en ambos casos elige el colorado, está diciendo que considera tanto el que tiene la probabilidad mayor, como el de la probabilidad menor. Esto parece indicar que la gente suele elegir la seguridad (aún cuando implica riesgo) a la incertidumbre, lo cual parecería explicar1 a su vez el hecho de que mucha gente sea reacia a invertir en acciones o bonos, prefiriendo dejar su dinero en una cuenta bancaria, es decir, se elije la seguridad ante la incertidumbre. También explicaría que muchos inviertan sólo en acciones de las empresas que le resultan conocidas o aquellas en las que trabajan, incluso cuando no vayan bien.



1 Cf Thorsten Hens, Marc Oliver Rieger ; Financial Economics: A Concise Introduction to Classical and Behavioral Finance, p. 81.

sábado, 16 de noviembre de 2013

Completitud de la lógica proposicional

Mostraremos aquí la completitud del cálculo de enunciados, es decir, la demostrabilidad de todas aquellas verdades lógicas que se cuentan entre las que son suceptibles de adquirir expresión en un sistema de lógica proposicional como este.

Para ello existen diverentes caminos (y no sólo uno, como pensaba Parménides, aunque probablemente algún parmenidiano diría que cada uno equivale a él). Uno de ellos es el de Kalmar. Veamos ahora un lema previo a la prueba en cuestión:

Lemma I:

Sea A una fórmula cualquiera del cálculo proposicional cuyas únicas variables proposicionales sean p₁, ..., pₖ (con k mayor o igual a 1).
Sea I cualquier interpretación de dicho sistema; la cual por definición asigna valores de verdad a p₁, ..., pₖ.
Sea pⁱₑ ≡
   pₑ, si I(pₑ) = ⊤
  ~pₑ, si I(pₑ) = ⊥.
Sea Aⁱ A o ~A de acuerdo a si I(A) es la verdad o no.
Luego: pⁱ₁, ..., pⁱₖ ⊦ Aⁱ


Sea n el número de conectivas en A. Cuando n = 0, obviamente que el lema se cumple, pues en tal caso pⁱ₁ y Aⁱ son una y la misma cosa.

Ahora supongamos que el lema se cumple para todo m menor a n. Entonces tenemos un A que es una negación (i) ~B o un condicional (ii) B → C.

Caso i
Nuevamente, dos subcasos.
Caso i.a: I(A) = V
Aquí, por definición de verdad, si A (o sea ~B) es verdadero, B es falso.
El lema, según nuestra hipítesis, se cumple para B (que tiene menos conectivas que A), luego ⊦ Bⁱ, o sea, ⊦ ~B, es decir ⊦ Aⁱ.

Caso i.b: I(A) = F
Si ~B es falso, B es verdadero (por definición de verdad), y Aⁱ es ~A. Pero ~A es ~~B. Basta probar B ⊦ ~~B. Aquí.


Caso ii: tres casos:
ii.a: B es falso
ii.b: C es verdadero
ii.c: B es verdadero y C falso.

Caso ii.a
Acá Aⁱ es B → C (porque si B es falso, B → C (o sea A) es verdadero y si A es verdaero es igual a Aⁱ). Pero sabemos que ⊦ ~B (por hipótesis del subcaso). Basta usar EFSQ (⊦ ~B →. B → C).

Caso ii.b
Aquí nuevamente Aⁱ es B → C. Lo que necesitamos es ⊦ C →. B → C. Pero este es el primer axioma.

En el Caso ii.c Aⁱ es ~.B → C. Lo que necesitamos es B →. ~C → ~.B → C. Con esto se prueba el lema.

Ahora veamos el teorema.

Sea A una fórmula válida cualquiera donde tengan lugar las variables proposicionales p₁, ..., pₖ (k ≥ 1).
Sean I₁ e I₂ interptretaciones idénticas en todo salvo en que en I₁ pₖ es verdadera, mientras que en I₂ no.

Usando el lema tenemos:

(i) pⁱ¹₁, ..., pⁱ¹ₖ ⊦ Aⁱ¹
(ii) pⁱ²₁, ..., pⁱ²ₖ ⊦ Aⁱ²

También tenemos, por cómo hemos definido I₁ e I₂:

(iii) pⁱ¹₁ = pⁱ²₁, ..., pⁱ¹ₖ₋₁ = pⁱ²ₖ₋₂
(iv)  pⁱ¹ₖ = pₖ
(v)   pⁱ²ₖ = ~pₖ

Al mismo tiempo, dado que A es verdadera tanto en I₁ como en I₂:

(vi)  A = Aⁱ¹ = Aⁱ²

Así pues, obtenemos:

(vii)  pⁱ¹₁, ..., pₖ ⊦ A
       Por (i), (iv) y (vi)

Por otra parte:

(viii) pⁱ¹₁, ..., ~pₖ ⊦ A
Por (ii), (iii), (iv), (v) y (vi)

Usando el teorema de la deducción en (vii) y (viii)

(ix) pⁱ¹₁, ..., pⁱ¹ₖ₋₁ ⊦ pₖ → A

(x)  pⁱ¹₁, ..., pⁱ¹ₖ₋₁ ⊦ ~pₖ → A

Usando ~p → q →. p → q → q [sust. pₖ por p y A por q] obtenemos:

pⁱ¹₁, ..., pⁱ¹ₖ₋₁ ⊦ A

Si k era igual a 1, la prueba estaría completa. En otro caso, se repite el procedimiento hasta p₁, y se prueba lo que queríamos probar.

jueves, 7 de noviembre de 2013

~p → r →. p → r → r


1.  ~p → ~~p →. ~p → ~p →. ~~p
     Sustitución,
p → ~q →. p → q →. ~p

2.  ~p → p → p
     tertium non datur


3.  ~p → p → p →. [q → p →. ~p → p] →. q → p → p
     Transitividad de →


4.  [q → p →. ~p → p] →. q → p → p
     Modus ponens (3 y 2)


5.  ~p → q →. q → p → p
     Regla de transitividad, (1 y 4
)

miércoles, 30 de octubre de 2013

p → q →. p → ~q → ~p

(a)  [p →. q → ~.p → p] →. p → q →. p → ~.p → p
     Regla 2, Axioma 2

(b)  [~q →. q → ~.p → p] →. p → ~q →. p →. q → ~.p → p
     Regla 2, transitividad de →

(c)  ~q →. q → ~.p → p
     Regla 2, ex falso sequitur quodlibet
(d)  p → ~q →. p →. q → ~.p → p
     Regla 1, b y c

(e)  p → ~q →. p → q →. p → ~.p → p
     Lema 3, d y a

(f)  p → ~[p → p] → ~p →. [p → q →. p → ~[p → p]] →. p → q →. ~p
     Regla 2, transitividad de →


g  [~p →. p → p] →. ~[p → p] → ~~p
    Modus tollens


h  ~[p → p] → ~~p
     Regla 1, g y ex falso sequitud quodlibet

i   ~~p → p →. ~[p → p] → ~~p →. ~[p → p] → p
    transitividad de →

j   ~[p → p] → p
    Regla 1, i y Doble negación, y Regla 1, h.

k   p → ~[p → p] → p
     Lema 1, j


l  [p → q →. p → ~[p → p]] →. p → q → ~p
     Regla 1,  f y k

m  p → ~q →. p → q →. ~p
     Lema 3, e y l

miércoles, 23 de octubre de 2013

p →. ~q → ~[p → q]

Una prueba de  p →. ~q → ~[p → q]
 


(a) p → q → q →. ~q → ~[p → q]
    Sust., Modus tollens

(c) p → q →. p → q
    Sust., reflexividad de →

(d) p → q → p →. p → q → q
    Lema 2, (c)

(f) p →. p → q → p →. p → q → q
    Modus ponens, (d)

(g) [p →. p → q → p] →. p →. p → q → q
    Lema 2, (f)

(h) p →. p → q → p
    Sust., Axioma 1

(i) p →. p → q → q
    Modus ponens, (g y h)

(j) p →. q → ~[p → q]
    Lema 3, (a e i)