viernes, 28 de marzo de 2014

Varianza de X menos Y. (Var(X - Y))

VAR(X-Y) = E(X-Y)² - E²(X-Y)

E(X-Y)(X-Y) - [E(X-Y)E(X-Y)]

E[X(X-Y)-Y(X-Y)] - (EX-EY)(EX-EY)

E[(X² - XY) - (YX - Y²)] - (EX-EY)(EX-EY)

E[X² - XY - YX + Y²] - (EX-EY)(EX-EY)

EX² - EXY - EYX + EY² - [EX(EX-EY)-EY(EX-EY)]

EX² - 2EXY  + EY² - [(E²X - EXEY) - (EYEX - E²Y)]

EX² - 2EXY + EY² - [E²X - 2EXEY + E²Y]

EX² - 2EXY + EY² - E²X + 2EXEY - E²Y

EX² - E²X  + EY² - E²Y - 2EXY + 2EXEY 

EX² - E²X  + EY² - E²Y - (2EXY - 2EXEY)

EX² - E²X  + EY² - E²Y - 2(EXY - EXEY)

EX² - E²X  + EY² - E²Y + 2(EXEY - EXY)

COMO COV(X,Y) = EXY - EXEY

= VAR(X) + VAR(Y) + 2COV(X,Y)



Si sucede que  COV(X,Y) = 0, luego:

VAR(X-Y) = VAR(X) + VAR(Y) 

viernes, 28 de febrero de 2014

Solución a un problema

Este post responde a este otro. La ubicación de r elementos en n lugares puede ser representada exactamente mediante una cadena de r ceros y  n – 1 unos (donde los ceros representan los objetos y los unos la delimitación de los lugares). Un ejemplo, para que sea más claro. La disposición de 4 elementos en 3 lugares en la cual 2 elementos se encuentren en el primer lugar y uno en cada uno de los restantes sería: 001010. El primer lugar es aquél delimitado por el primer uno (de ahí a la izquierda). El segundo lugar es el delimitado por el primer y el segundo uno, el tercero desde el segundo uno a la derecha.

Otro ejemplo, 7 elementos ubicados en 9 lugares podría ser: 110001101010110. Los lugares primero, segundo cuarto y octavo están vacíos. El tercero tiene 3 elementos. El quinto, sexto, séptimo y noveno tienen cada uno uno.

De este modo, el problema se resuelve si resolvemos el número de disposiciones de r + n caracteres de los cuales r son ceros y n son unos. O, lo que es lo mismo, de r + n – 1 (si utilizamos n -1 para denotar el número de unos para hacer n el número de lugares) caracteres de los cuales r son ceros (y n - 1 son unos).

Así: Las disposiciones de r elementos en n lugares, son las mismas que las de r + n1 caracteres r de los cuales son ceros y n son unos.

Y la solución ahora es evidente. Tenemos que elegir de entre r + n – 1 caracteres, r que serán unos y los restantes ceros. O, lo que es igual, de entre los n + r – 1 elegir n – 1 que serán ceros y los restantes uno. Así, si a cada carácter le asignamos un número, cada disposición equivale a una selección de aquellos r números que serán unos (o los n – 1 que serán ceros, lo que es igual).


Por ello, dados r elementos y n lugares, el número de disposiciones posibles que no distinguen entre los elementos son C(n + r - 1,r).

martes, 25 de febrero de 2014

Variables Aleatorias Continuas

Una  variablealeatoria  es continua si existe una función f  no negativa definida sobre el conjunto de los números reales tal que:

,
con a ≤ b.

La función f así descripta se llama densidad de probabilidad. Tales funciones deben cumplir:


a.     para todo x


b.  


En base a f se define también la función de distribución F, que se define:



 




Se cumple entonces que:

F’ (x) = f(x)


Por ejemplo, la siguiente función:

f(x)  =  2 (1 – 2 |x – ½|)  para  0 ≤ x ≤ 1
 0                                            en cualquier otro caso.

es una función de densidad.

Veamos paso a paso que





Tenemos:
  

Como |4x - 2| =  4x – 2 para todo ½  ≤ x ≤ 1  y  |4x - 2| = (-1)( 4x – 2) para  0 ≤ x ≤ ½:




 Luego:





    

 =  2 - 8/8
 =  2 -1
 =  1

Así, el área del gráfico de la función equivale a 1. Como se  ve en la imagen siguiente, su nombre (distribución triangular) se justifica a partir de su gráfica:


martes, 18 de febrero de 2014

Un problema

Si tenemos que ordenar una cantidad (sea r) de elementos en n lugares, existen nr posibilidades de hacerlo. Esto es así porque para cada uno de los elementos existe una disposición por cada uno de los lugares. Si el elemento es uno sólo, existe la disposición que resulta de ubicarlo en el lugar uno, la que resulta de ubicarlo en el segundo, … , hasta el lugar enésimo. Si son dos, para cada disposición del primero, una para la que resulta de ubicar el segundo en el primer lugar, otra en el segundo, etc., hasta llegar al enésimo. Y así análogamente con cada elemento hasta el número r.


El problema del post, en cambio, pregunta por el número de disposiciones en el caso en que no es posible distinguir entre los elementos, es decir, en que si de dos elementos uno está en el primer lugar y el otro en el segundo, esa configuración equivalga a la que ubica al último en el primero y al anterior en el segundo.

lunes, 17 de febrero de 2014

Algunas notas

En la música, de entre todos los subconjuntos de notas, uno de los que ha recibido mayor atención que el resto es el llamado escala mayor. El universo de notas usado incluye todos sonidos equidistantes respecto de sus consecutivos, cuyo intervalo mínimo es llamado semitono. A su vez, cada 12 de tales intervalos se establece uno que se llama octava donde aparece, si bien no el mismo tono, uno que recibe el mismo nombre, y se le parece.

Tenemos, por lo tanto, doce denominaciones, una de las cuales es do, que también se escribe, a veces, c. Dado que el oído puede distinguir entre distintas alturas entre cualesquiera dos sonidos así definidos diferentes, es posible ordenarlos. La escala mayor mencionada es toda selección de notas que, dada una de ellas (que recibirá el nombre de tónica) se escojan aquellas otras 6 cuyas distancias sean (medida en cantidad de semitonos) 2, 4, 5, 7, 9 y 11 (comúnmente se dice: segunda mayor, tercera mayor, cuarta, quinta justa, sexta mayor y séptima mayor).  Si en lugar de semitonos se usa como medita el tono, las distancias serán expresadas en magnitudes equivalentes a la mitad de lo dicho: 1; 2; 2,5; 3,5; 4,5 y 5,5.
Dado que las notas son doce, existe una escala mayor por cada una de ellas, lo cual genera algunas dificultades. Por ejemplo, Do mayor es la escala do, re, mi, fa, sol, la , si. Pero Si mayor no es si, do, re, mi, fa, sol, la; sino si, do#, re#, mi, fa#, sol#, la#, siendo los “#” sostenidos, es decir, la nota siguiente a cada una de las que altera. La dificultad se produce cuando no se tiene mucho tiempo para deducir las alteraciones de las escalas, por lo que resulta útil tener alguna forma que lo facilite.

Las alteraciones se escriben a la derecha en cada línea del pentagrama, y se ordenan así.

Los sostenidos
 fa           do          sol         re           la            mi           si


Los bemoles
Si            mi           la            re           sol          do          fa

Nótese que en un caso son las quintas mientras que en el otro las cuartas, y que representan los órdenes inversos.

Podemos utilizar números para designar la cantidad de alteraciones de cada una de las escalas. Por ejemplo,  0 sería la escala sin alteraciones, 3 la escala con tres alteraciones (fa, do y sol) y -4 la escala con cuatro bemoles (si, mi, la, re). Tenemos entonces:

Do =      0
Do# =    7 o -5
Re =       2
Mib =    -3
Mi =       4
Fa =       -1
Fa# =     6 o -6
Sol =      1
Lab =     -4
La =        3
Sib =      -2
Si =         5 o -7

Vemos que en tres casos tenemos tres opciones diferentes.  En orden sería:
7
C#
6
F#
5
B
4
E
3
A
2
D
1
G
0
C
-1
F
-2
Bb
-3
Eb
-4
Ab
-5
Db
-6
Gb
-7
Cb


Donde C# = Db, F# = Gb y Cb = B.

domingo, 9 de febrero de 2014

Más sobre límites

El de límite es un concepto que no en todos los casos se da. En algunos, éste directamente no existe, y hay quienes se preguntan cómo es que es así. Claro que el término no es inequívoco, y en diversas áreas su sentido puede cambiar. Para Kant, por ejemplo, la metafísica es uno de los límites de la razón pura: no puede especular en ella. Un límite práctico, por otra parte, es algo muy diferente y para el filósofo se trata de una cosa enteramente racional siendo la razón misma la única capaz de proporcionarlo en sentido estricto. Una interpretación propia de dicho cocepto conduce a nociones que son extremadamente raras hoy en día, al menos en aquellos cuerpos colegiados que se supone se abocan a su estudio y también a su eficacia en general. Con "eficacia en general" me refiero, primero, al simple hecho de que exista en el sentido práctico, es decir, que una praxis lo exija como supuesto, y segundo, con la generalidad a no sólo la propia praxis sino del conjunto de sujetos en una jurisdicción. Y considero que escasea debido a que lo que predomina son visiones "patológicas" (Cf. la Crítica de la razon práctica), esto es, que hacen del sujeto un súbdito del beneficio, es decir, una mera función de un concepto ya establecido de bienestar. Aclaro esto de "ya establecido" porque existen funciones de utilidad que son satisfactorias en la descripción de practicas pero que no dependen de una definición de bienestar sino que al contrario conducen a una que por lo demás es enteramente singular. Partiendo de tales hipótesis, es decir, de una definición del fin práctico que prescinde del concepto de límite, un límite es sólo un sucedáneo de una situación de hecho en la que lo que llamaríamos límite es sólo el resultado contingente de una configuración de las condiciones prácticas a falta de las cuales el mismo no tendría eficacia, es decir, no sería observado.

Hablando de funciones, su definición es precisa, y ya hemos hecho mención de ello. Veamos, por ejemplo, el límite de una función cuando su argumento tiende a infinito, que se define:

(∀ε > 0) ∃M ∀x (x > M → |f(x) - L| < ε)

Y se lee: la función f(x) tiene el límite L cuando x tiende a infinito.

Vemos que en este caso, a medida que ε es más pequeño, el número M para el cual se cumple la condición puede tener que ser mayor. Por ejemplo, sean ε₁ y ε₂ 0,001 y 0,002:

(∀x > M) |(1/x) - L| < ε₂

Entonces tenemos que para M ≥ 500 se cumple. Sin embaro, no es así con

(∀x > M) |(1/x) - L| < ε₁

En cuyo caso necesitamos un M ≥ 1000. Vemos así como a medida que  ε es menor el M más pequeño que puede elegirse es por su parte mayor. La existencia, en este caso, de un límite L significa que cualquiera sea la cercanía de la función con L, existe un mínimo argumento a partir del cual cualquiera que sea mayor que él estará asociado por la función a un número aún más cercano.