Sustitutividad de la equivalencia, segunda parte.

Ahora consideremos, siguiendo con el post anterior sobre la sustitutividad de la equivalencia, que se realiza la sustitución y hay alguna ocurrencia en A de algún →, ~ o ∀. 

Existen tres casos: 

1) A es A₁ → A₂, 

2)A es ~A₁ y 

3) A es ∀xA₁. 

Primer caso: A es A₁ → A₂

Aquí (salvo en el caso a, ver post anterior) B es B₁ → B₂ donde B₁ y B₂ resultan por sustitución de M por N en A₁ y A₂. Por hipótesis de inducción:

*1) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ ≡ B₁ y

*2) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₂ ≡ B₂

Necesitamos probar, entonces, que de (*1) y (*2) se sigue el teorema.

Primero probemos T₁:

p → q →. r → s →. q → r →. s → t

Cuando figuren dos letras proposicionales una al lado de la otra así: pq, significará [p → q].

a) pq →. qr →. ps

transitividad de →

b) ps →. st →. pt

transitividad de →

c) [ps →. st → pt] →. qr → ps →. qr →. st → pt

transitividad de →

d) qr → ps →. qr →. st → pt

modus ponens (c y b)

e) pq →. qs →. st → pt

Regla de transitividad, (a y d)

f) p → qr →. q → pr

ley de conmutación

g) [qs →. st → pt] →. st →. qs → pt

R2, (f)

h) pq →. st →. qs → pt

Regla de transitividad (e y g)

Ahora probemos T₂: 

[p →. q → rs] →. pq →. pr → ps

a) [p →. r → s] →. pr → ps

Axioma 2

b) [p →. q → rs] →. pq →. p → rs

Axioma 2

c) [p → rs →. pr → ps] →. [pq →. p → rs] →. pq →. pr → ps

ley de transitividad de → 2

d) [pq →. p → rs] →. pq →. pr → ps

modus ponens (c y a)

e) [p →. q → rs] →. pq →. pr → rs

Regla de transitividd, (b y d)

Ahora escojamos cinco fórmulas cuales quiera A₁, A₂, B₁, B₂ y C tales que sea

*11) ⊢ C →. A₁ → B₁, ⊢ C →. A₂ → B₂

*12) ⊢ C →. A₂ → B₂ y ⊢ C →. A₂ → B₂

(es decir ⊢ C →. A₁ ≡ B₁ y ⊢ C →. A₂ ≡ B₂)

Tenemos:

a) B₁ → A₁ →. A₂ → B₂ →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂ y

b) A₁ → B₁ →. B₂ → A₂ →. B₁ → B₂ →. A₁ → A₂

ambos por regla 2, T₁.

Sustituyendo en T₂, obtenemos (c) y (d):

c) [C →. B₁A₁ →. A₂B₂ →. A₁A₂ → B₁B₂] →. C → B₁A₁ →. C → A₂B₂ →. C →. A₁A₂ → B₁B₂

d) [C →. A₁B₁ →. B₂A₂ →. B₁B₂ → A₁A₂] →. C → A₁B₁ →. C → B₂A₂ →. C →. B₁B₂ → A₁A₂

Luego:

e) C →. B₁A₁ →. A₂B₂ →. A₁A₂ → B₁B₂

Lema 1, (a)

f) C →. A₁B₁ →. B₂A₂ →. B₁B₂ → A₁A₂

Lema 1, (b)

Y entonces

h) C → B₁A₁ →. C → A₂B₂ →. C →. A₁A₂ → B₁B₂

i) C → A₁B₁ →. C → B₂A₂ →. C →. B₁B₂ → A₁A₂

ambos por modus ponens (c y e) y (d y f). Esto se cumple para cualesquiera fórmulas (bf) C, A₁, A₂, B₁ y B₂.

Ahora sustituímos C por ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] (regla de sust.), con lo cual obtenemos:

h') [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → A₁] →. [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₂ → B₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂

i') [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → B₁] →. [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₂ → A₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → B₂ → A₁ → A₂

Entonces (recuérdense las hipótesis de la inducción *1 y *2):

j) [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₂ → B₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂

modus ponens, (h' y *1)

k) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂

modus ponens, (j y *2)

l) [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₂ → A₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → B₂ → A₁ → A₂

modus ponens, (i' y *1)

m) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → B₂ → A₁ → A₂

modus ponens (l y *2)

Y como A es A₁ → A₂ y B es B₁ → B₂, luego hemos probado:

n) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A ≡. B

Ahora el segundo caso: A es ~A₁

Así, B es ~B₁ y nuestra hipótesis de inducción establece que

*) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ ≡ B₁

Debemos probar

[C →. q ≡ r] →. C → ~q ≡ ~r

y sustutuir C por la hipótesis, q por A₁ y r por B₁ para obtener por modus ponens lo que queremos, de modo similar al primer caso.

Sabemos por el axioma 3 y por modus tolens que:

a) q ≡ r →. ~q ≡ ~r

Por otra parte:

b) p → q →. C →. p → q

Axioma 1

c) [C →. p → q] →. C → p →. C → q

Axioma 2

d) [C →. q ≡ r →. ~q ≡ ~r] →. C → q ≡ r →. C →. ~q ≡ ~r

Sustituyendo en (b)

e) C →. q ≡ r →. ~q ≡ ~r

lema 1, (a)

f) C → q ≡ r →. C →. ~q ≡ ~r

modus ponens (d y e)

Finalmente, nos queda el tercer caso: A es ∀xA₁

Aquí, B es ∀xB₁. hay que probar:

A ≡ₓ B →. (x)A ≡ (x)B

Y con eso obtenemos la prueba utilizando la transitivida de →.

Sabemos, desde luego, que:

a) A ≡ B →. A → B y

b) A ≡ B →. B → A , por la definición de ≡.

c) ∀x[A ≡ B] →. A → B

regla 5 y reflexividad de →

d) ∀x[A ≡ B] →. ∀x[A → B]

Lema 4

e) (x)A → A

regla 5

f) [p →. q → r] →. s → q →. p → s → r

ver prueba

g) [A ≡ₓ B →. A → B] →. (x)A → A →. [A ≡ₓ B →. (x)A → B]

sust, (f)

h) (x)A → A →. [A ≡ₓ B →. (x)A → B]

modus ponens, (g y c)

i) A ≡ₓ B →. (x)A → B

modus ponens, (h y e)

j) A ≡ₓ B →. (x)A →ₓ B

lema 4, i

k) (x)A →ₓ B →. (x)A → (x)B

Axioma 4

l) A ≡ₓ B →.(x)A → (x)B

Regla de transitividad

Sustitutividad de la equivalencia

El sistema axiomático de Nicod-Lukasievicz se caracteriza por bastar para abarcar a la lógica proposicional en su conjunto, quiero decir, para probar cada uno de sus teoremas, y no contar más que con un solo teorema y dos reglas de inferencia. Su nombre tiene el de dos personas pues la primera de ellas no dió su versión definitiva sino que su versión del axioma difería en el número de variables proposicionales del de la segunda según quien, por otra parte, había omitido explicitar que el sistema incluía la regla de sustitución −además de faltarle un paso en la demostración de la reflexividad de → al publicarlo−, (ver).

Tal regla de sustitución, que puede encontrarse como conformando este sistema axiomático de lógica de primer orden, afirma que una variable proposicional puede ser sustituída por una fórmula cualquiera constituyendo un paso válido de prueba.

Algunos sistemas axiomáticos prescinden de ella. Por ejemplo, si el citado es reemplazado por uno en que en lugar de los axiomas presentara "esquemas de axiomas" de la misma forma pero que en lugra de p → [q → p], etc., sea A → [B → A], etc., donde A y B no son variables proposicionales sino lugares a ser ocupados por fórmulas cualesquiera; entonces la regla de sustitución podría ser una regla derivada (omitimos la prueba en este post).

Pero cuando hablamos de "sustitutividad de la equivalencia" nos referimos a una cosa completamente distinta. Con ello mentamos que si dos fórmulas son equivalentes y una de ella es una parte de una tercera, entonces la resultante de sustituir en esta última tal fórmula por la otra (su equivalente), es equivalente con ella. Por si resulta más claro, en símbolos:

Si M ≡ N, y si B resulta de sustituir N por M en A en cero o más lugares, entonces A ≡ B.

Es decir que B es S[N/M]A|, y que si ⊢ M ≡ N, luego ⊢ A ≡ B.

Una muy útil regla de inferencia que se sigue de ella es que si B es S[N/M]A|, si ⊢ M ≡ N y si ⊢ A, luego ⊢ B. Una muestra suficiente de su utilidad está en que con ella, en conjunto con algunos teoremas del cálculo restringido de predicados, puede probarse que cualquier fórmula tiene una equivalente en forma normal prenexa. Lo cual es un paso para una de las demostraciones de la completitud semántica de dicho cálculo. Probemosla, pues por inducción, según el número de ocurrencias de los signos →, ~ y ∀. Formulemos el teorema para la lógica de primer orden:

Si B resulta de A por sustitución de N por M en cero o más lugares de A (no necesariamente todas las ocurrencias de M en A), y si x₁, x₂, ..., xₙ es una lista de variables individuales que incluye al menos todas aquellas variables libres en M y en N que ocurren también como variables ligadas en A, entonces: ⊢ ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A ≡ B

Primero veamos los casos a) la sustitución de N por M tiene lugar en cero lugares en A, y b) M coincide con A y se sustituye una ocurrencia de M en A.

a) En este caso B es lo mismo que A por que se obtiene de A sin cambiar nada en ella. Luego,

∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ B

es lo mismo que

∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ A

Sustituyendo en el axioma 1 (ver post citado):

A ≡ A →. ∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ A

Como A ≡ A (por reflexividad de la implicación material), luego, por modus ponens:

∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ A

b) En este caso A es lo mismo que M y B lo mismo que N. De modo que:

∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ B

en nada difiere de

∀x₁x₂...xₙ[A ≡ B] →. A ≡ B

Pero dicha fórmula se obtiene por medio del axioma 5 aplicado n veces y la regla de transitividad.

Debemos considerar ahora que se realiza la sustitución y hay alguna ocurrencia en A de algún →, ~ o ∀. 

Existen tres casos: 

1) A es A₁ → A₂,

2)A es ~A₁ y 

3) A es ∀xA₁. 

Lo que resta puede leerse en el siguiente post.

Modus tollendo tollens

Existen muchas direcciones donde puede encontrarse información respecto de lo que se llama modus tollendo tollens (o, de modo abreviado, modus tollens). Así que para no resultar reiterativo diré no más que puede referir a una ley lógica (una tautología) o a una regla de inferencia, ambas basadas en el mismo "principio" (entre comillas).

Así, la regla afirma que si tenemos un condicional, pero también que su consecuente es falso, entonces el antecedente también lo es. En símbolos:

Si ⊢ p → q y ⊢ ~q, luego ⊢ ~p.

Y si aplicamos el teorema de la deducción obtenemos la ley:

p → q →. ~q → ~p

Lo que haremos ahora es ver una demostración que se apoye en el sistema axiomático que figura en este post. Hela aquí:


1 q → ~~q →. p → q →. p → ~~q
sust. Transitividad de → (seg.)

2 p → q →. p → ~~q
modus ponens, (1) y Doble negegación.

3 ~~p → p →. p → ~~q →.~~p → ~~q
Transitividad de →.

4 p → ~~q →.~~p → ~~q
modus ponens, 3 y Doble neg.

5 p → q →. ~~p → ~~q
Regla de Transitividad de →, (2 y 4).


6 ~~p → ~~q →. ~q → ~p
Axioma 3

7 p → q →. ~q → ~p
Regla Transitividad de →, (5 y 6)

De lo cual se sigue también la regla, ya que si tomamos dos fórmulas tales que:
⊢ A → B
y
⊢ ~B

entonces por modus ponens obtenemos primero:

A → B ⊢ ~B → ~A

y luego:

A → B, ~B ⊢ ~A

Deducción natural para lógica de predicados

La deducción natural es un método para demostraciones lógicas. Consiste en un número de reglas que se aplican sobre las fórmulas de un lenguaje formal que, al hacerlo, permite realizar inferencias. Por ejemplo, la regla de introducción de la disyunción nos dice más o menos que: si sabemos que p, entonces también sabemos que p ∨ q.

Hay reglas para cada conectiva de la lógica proposicional, para introducir y para eliminar, es decir, para obtener de una fórmula sin ella una que sí la tenga o, al revés, de una que no una que sí.

Cuando nos las vemos con fórmulas de la lógica de predicados se hacen necesarias algunas reglas relativas a los cuantificadores. Ellas son:


Regla de introducción del cuantificador universal ∀
Regla de eliminación del cuantificador universal ∀
Regla de introducción del cuantificador existencial ∃
Regla de eliminacion del cuantificador existencial ∃



Veamos la primera, I∀.
Ella afirma que se puede ligar universalmente una variable que esté libre en una fórmula demostrada, pero con al condición de que ella no se encuentre libre en ningún supuesto (o en ninguno que no haya sido cancelado), y si el cuantificador alcanza a todas las variables con tal denominación presentes en la fórmula sobre la que se aplica. Esto último significa que si he probado Fxx, no puedo generalizar una sola sino ambas x, es decir ∀yFyx no será correcto, pero sí ∀yFyy. Entonces, teniendo en cuenta las restricciones mencionadas:

Si ⊢ A, luego ∀x(A)

Con respecto a la regla de eliminación de ∀, ella resulta bastante simple, es la siguiente:

Si ⊢ ∀x(A), luego A

Con ambas resultará, en cierto sentido, lo mismo una fórmula que comience con una cuantificador universal o una que sea igual en todo lo demás, pero que no tenga dicho cuantificador.


En cuanto al existencial, su regla de introducción es:


⊢ A, luego ∃xA

Es decir, si hemos demostrado una fórmula cualquiera, es posible ligar existencialmente una variable libre que ocurra en ella. (Repitiendo el proceso se pueden, obvio, ligar todas ellas).


Finalmente, la regla de eliminación del cuantificador existencial. Aquí realizaré unos comentarios. Dado que A permite inferir ∀x(A), si ∃x(A) permitiría inferir A, luego llegaríamos a una falsedad, la cual consiste en decir que si algo tiene una determinada propiedad todo lo tiene, cuando no es así para nada. Es facil concebir una interpretación de dicha propiedad para que resulte un absurdo. La regla que se usa entonces lo que afirma es:


Si ⊢ A → B y ⊢ ∃x(A), luego ⊢ B

Si aplicamos el teorema de la deducción esto lleva a:

A → B →. ∃x(A) → B (ver nota)

Si consideramos su fómula proposicional asociada, obtenemos:

p → q →.r → q

lo cual no es una tautología, pues es falsa cuando p y q son falsas y r verdadero. Pero ocurre que no puede pasar que A sea verdadera y ∃x(A) sea falsa dado que, debido a la regla de eliminación de ∃:

A → ∃x(A)

Se comprende entonces por qué esta regla es correcta. Pero veamos ahora cómo se probaría B → A →. ∃x(A) → A en el sistema axiomático presentado aquí.

1 ∀x[B → A] →. B → A
por axioma V

2 B → A →. ~A → ~B
por axioma III

3 ∀x[B → A] →. ~A → ~B
transitividad de →

4 ∀y[∀x[B → A] →. ~A → ~B] → ∀x[B → A] →. ∀y[~A → ~B]
axioma IV

5 ∀x[B → A] →. ∀y[~A → ~B]
modus ponens 3 y 4.

6 ∀y[~A → ~B] → ~A → ∀y(~B)
axioma V. Aquí debe observarse que la variable y no debe estar libre en A.

7 ∀x[B → A] →. ~A → ∀y(~B)
regla de transitividad, 5 y 6.

8 ~A → ∀y(~B) →. ~∀y(~B) → ~~A
axioma III

9 ~~A → A
ley de doble negación

10 ~~A → A →. ~∀y(~B) → ~~A →. ~∀y(~B) → A
transitividad-II

11 ~∀y(~B) → ~~A →. ~∀y(~B) → A
modus ponens 9 y 10

12 ∀x[B → A] →. ~∀y(~B) → A
regla de transitividad, 7, 12

Y como ∃x no significa otra cosa que ~∀~x, luego:

13 ∀x[B → A] →. ∃y(B) → A

Luego, dado que B → A → ∀x[B → A], se vé simplemente cómo es que B → A, ∃x(B) ⊢ B


_______________
 Nota: es decir [A → B] → [∃x(A) → B]. Respecto del uso de los puntos, ver acá.

Ley de reductio ad absurdum

La reductio ad absurdum es una manera muy habitual de proceder, no sólo dentro de la actividad deductiva. Básicamente, ella consiste en el rechazo del absurdo, que nuestra razón parece realizar espontáneamente. No es mi intención sin embargo dejar sentado este último aserto. Existen quienes (yo hablé con uno hace poco) niegan que, el otrora llamado animal racional, proceda ni aún las más de las veces de tal modo. Una posición en cierto modo sintética (y en sentido estricto, no) es la que considera la actividad humana como no rigiéndose todas las veces según ese principio, pero pudiendo hacerlo, aunque no particularmente inclinado a ello. En apoyo de tal idea del hombre se aboga, en numerosas oportunidades, el testimonio de la experiencia según la cual el mantenimiento estricto de las leyes de la lógica en el acto de pensar supone cierto esfuerzo a falta de cual no está garantizado. Así, el hombre sería libre de ser racional, pero pudiendo dar otros usos a su arbitrio. Aunque esto a riesgo de descaminarse, pues la verdad sólo puede ser racional, y cualquier afirmación que no lo sea será banal, no será, en rigor, más que nada.

Un inconveniente con dicha concepción fue señalado por el mismo Descartes en su cuarta meditación¹, pues no es lo mismo el error que la ignorancia. No es lo mismo, por ejemplo, pretender haber probado una contradicción, que no poseer la prueba de su negación. Tal y como lo apunta el filósofo, se trata de dos órdenes ditintos, los que Kant llama práctico y especulativo. Creer que uno ha probado una contradicción es un acto, así como lo es la restitución de un depósito por ejemplo. Hay actos encomiables y también los hay reprochables. Pero también hay otros que no son ni tanto ni tan poco. Las afirmaciones, se pueda o no decidir esto, son verdaderas o no lo son, tertium non datur.

Claro que esto último puede considerarse una posición un poco extrema. ¿No hay sistemas lógicos que no son binarios acaso? ¿Y eso no prueba su posibilidad? ¿Pero entonces son racionales o no?

En la modernidad se solía dividir las aguas de manera tajante: el conocimiento y el voluntad. Para Descartes es una confusión entre ambos la fuente del error:

"¿De dónde nacen, pues, mis errores? Nacen de que la voluntad, siendo mucho más amplia y extensa que el entendimiento, no se contiene dentro de los mismos límites, sino que se extiende, además, a las cosas que no comprendo, y, como de suyo es indiferente, se extravía con mucha facilidad y elige lo falso en lugar de lo verdadero, el mal en vez del bien; y esta es la causa por la cual me engaño y peco" (op. cit).

Se ve con claridad que la división no es completa. Uno podría deducirla de la misma exhortación que se hace para mantener la línea divisoria, pues si hay que advertir al respecto es porque, cuando menos, la confusión es una posobilidad. Esta misma conclusión puede obtenerse también sin apelar si quiera al modus tollens. El entendimiento es la facultad humana de concebir la verdad, expresada en sentencias, cuyo uso se consuma en la aseveración de las mismas. Toda aseveración es una acción humana. Por ende, el entendimeinto está subsumido (como bien afirmó Kant) a la praxis. De este modo, las discusiones sobre si el hombre es o no racional en el sentido en que sólo ha de sobordinarse al imperio de la razón es cuestión de razón práctica, no especulativa.

Podemos entonces proseguir describiendo en qué consiste esta ley de reducción al absurdo. Desde un punto de vista retórico, uno diría: se reduce el argumento que se quiere criticar a algún absurdo, es decir, se deduce de él una contradicción por todos conocida, y así se lo descarta. De modo formal diríamos: si una proposición permite inferir una contradición, entonces es falsa. Y la contradicción puede definirse con contar con dos proposiciones, una de las cuales es la negación de la otra, p y ~p. Así, en símbolos:

p → q, p → ~q ⊢ ~p

Usanto el teorema de la deducción podemos probar, en tres pasos:

p → q →. p → ~q → ~p (ley de reductio ad absurdum)

Pero procedamos ahora a demostrarla para esta formulación de la lógica proposicional de otra manera.

Primero probemos el converso del tercer axioma, a saber: p → q →. ~q → ~p.

1   q → ~~q →. p → q →. p → ~~q
    Ley de Transitividad-I.

2  p → q →. p → ~~q
     modus ponens, 1 y converso de doble negación.

3  ~~p → p →. p → ~~q →.~~p → ~~q
     Transitividad-I


4  p → ~~q →.~~p → ~~q
    modus ponens, 3 y doble negación

5  p → q →. ~~p → ~~q
    Regla de transitividad , 2, 4.

6   ~~p → ~~q →. ~q → ~p
     Axioma III

7   p → q →. ~q → ~p
     Regla de transitividad, 5 y 6.

Ahora consideremos que ~p es equivalente a p → ~[r → r] dado que el consecuente de eta fórmula es necesariamente falso y por lo tanto el condicional lo será también si (y sólo si) el antecedente es verdadero. Para probar esto escribimos:

1 ~p →. p → ~[r → r]
    EFSQ


2   p → ~[r → r] →. ~~[r → r] → ~p
     modus tollens

3   [p → ~[r → r] →. ~~[r → r]] →. p → ~[r → r] → ~p
     Lema 2,  2

4  ~~[r → r]
     R1: Doble negación y ref→

5  ~~[r → r] →. p → ~[r → r] →. ~~[r → r]
     R2: Ax1

6   p → ~[r → r] →. ~~[r → r]
     R1: 4 y 5

7   p → ~[r → r] → ~p
     R1: 3 y 6

Así:

* ~p ≡ p → ~[r → r]

Seguimos de este modo:

**  [p →. q → ~[r → r]] →. p → q →. p → ~[r → r]
     Axioma II

La equivalencia cuya prueba está dada arriba permitiría probar, en caso de contar con el teorema de sustitución de la equivalencia, con ** el teorema: p → ~q →. p → q → ~p, que no es otra cosa que una versión de la reducción al absurdo con las premisas permutadas. Como no usaremos ese teorma de sustitución recurriremos, primero, a la regla de la transitividad:

1  [~q →. q → ~[r → r]] →. p → ~q →. p →. q → ~[r → r]
    (ley de transitividad)

2  p → ~q →. p →. q → ~[r → r]
    modus ponens, 1 y *

3  p → ~q →. p → q →. p → ~[r → r]
    Regla de transitividad, 2 y **

4  p → ~[r → r] → ~p →. [p → q →. p → ~[r → r]] →. p → q →. ~p
    (segunda ley de transitividad)

5  [p → q →. p → ~[r → r]] →. p → q → ~p
    modus ponens 4 y *

6 *** p → ~q →. p → q →. ~p
   Regla de transitividad, 3 y 5.

Con esto hemos probado la reducción al absurdo, si bien con las premisas en el orden inverso al habitual. Para obtener esta última nos servimos de la ley de conmutación:

1  [p → ~q →. p → q →. ~p] →. p → q →. p → ~q →. ~p
    ley de conmutación
2  p → q →. p → ~q →. ~p
    modus ponens, 1 y ***


______________
1. Descartes, Meditaciones Metafísicas
2. Se trata de la segunda de las leyes de la transitivida de →, cuyas premisas conmutan las de la primera.

Ley de doble negación

El producto, por decir así, de la ley de la doble negación (~~p → p) y su conversa (p → ~~p) dan por resultado:

~~p ≡ p

pues esto significa:

[~~p → p] ∧ [p → ~~p]

Veamos una prueba de ello. Sabemos, por el axioma III que:

1 ~p → ~~~p →. ~~p → p

Por otra parte, la ley de negación del antecedente o ex contradictione quodlibet, permite inferir:

2 ~~p →.~p → ~~~p

De este modo, por la transitividad de la implicación material tenemos, en base a (1) y (2):

3 ~~p →.~~p → p

Sustituyendo en el axioma II:

4 [~~p →.~~p → p] → [~~p → ~~p →. ~~p → p],

de lo cual junto con (3) (por modus ponens)

5 ~~p → ~~p →. ~~p → p

Y finalmente, con el recurso a la reflexividad de la implicación y modus ponens:

6 ~~p → p

Para completar la prueba de la fórmula de arriba, lo primero que hacemos es sustituir en el axioma III p por~~p y  q por p:

7 ~~~p → ~p →. p → ~~p

Sustituímos asimismo en 6 p por ~p:

8 ~~~p → ~p

Así, por modus ponens obtenemos lo que queríamos probar:

9 p → ~~p

Con lo cual (6 y 9):

10 ~~p ⁡≡ p