domingo, 27 de noviembre de 2011

jueves, 24 de noviembre de 2011

El ejercicio con equivalencias materiales

(viene de este post, al que remito)

Según la definición de '≡':

p ≡ q equivale a (p ⊃ q)·(q ⊃ p)

Si V(p) = 0 (o sea, la valuación de 'p' es 0), entonces tenemos que:

(⊥ ⊃ q)·(q ⊃ ⊥)

Y como cualquier condicional material cuyo antecedente sea falso es verdadero:

⊤ · (q ⊃ ⊥)

Pero en una conjunción, su valor de verdad es verdadero sólo si cada una de las proposiciones es verdadera y falso en caso contrario, así que la conjunción de una ⊤ y cualquier proposición será valuada igual que esa otra proposición, de ahí que podamos reducir a:

(q ⊃ ⊥)

Ahora bien, en una implicación material, si el consecuente es falso, entonces ella misma será veradera si su antecedente también es falso o falsa en el otro caso. Es decir, tendrá un valor contradictorio a su antecedente, por lo tanto:

~ q

Así, entonces:

'⊥ ≡ q' equivale a '~ q'

En el caso en que 'p' en 'p ≡ q' sea verdadero:

(⊤ ⊃ q)·(q ⊃ ⊤)

Cualquier condicional material cuyo consecuente sea verdadero es verdadero, por lo tanto podemos eliminar '(q ⊃ ⊤)' de la conjunción. Por otra parte, una conjunción cuyo antecedente sea verdadero será verdadera o falsa según lo sea su consecuente. Por tanto:

'(⊤ ⊃ q)·(q ⊃ ⊤)' equivaldrá a 'q'

Haciendo las transformaciones correspondientes en las cuatro expresiones del ejercicio:

si V(p)=1

I (x) (Fx)
II (x) (Fx)
III ∃x (Fx)
IV ∃x (Fx)

Donde I y II equivalen entre sí y difieran ambos tanto de III y de IV, los cuales también difieren entre sí.

si V(p)=0

I (x) (~Fx)
II ~(x) (Fx)
III ∃x (~Fx)
IV ~∃x (Fx)

Donde I difiere de II y III de IV, con lo que se vé lo que pedía el ejercicio.

Fuente: Quine, Los métodos de la lógica.

viernes, 18 de noviembre de 2011

Identidad de lo indiscernible

Según Quine (ya se mencinó en otro post) el signo '=' se puede escribir así:

∀α(x ϵ α ↔ y ϵ α)

Sin embargo, si bien no lo discute (al menos en Los métodos de la logica) lo que esto presupone es que cualquier objeto es idéntico a otro siempre que comparta cada una de sus propiedades. Russell, en su introducción al Tractacus de Wittgenstein le opondría su idea de la identidad de lo indiscernible, pues bien podría suceder, dice, que dos cosas compartan todas sus propiedades y sin embargo no sean la misma. El pasaje al que hace referencia Russell es 2.0233-2.02331 del Tractacus.

Desde luego, Quine responderá (Nueva fundamentción de la lógica matemática) que en realidad lo que su fórmula afirma no es que x e y comparten sus propiedades sino que pertenecen ambos a todas las mismas clases. Y su definición parece más inobjetable cuando asevera que y también pertenece a aquella clase a la que sólo pertenece x.

¿entonces?

martes, 15 de noviembre de 2011

Funciones de verdad

Sea f| una función cuyo dominio sean 0 y 1, su rango también y se defina así:

f|(1,1) = 0
f|(1,0) = 1
f|(0,1) = 1
f|(0,0) = 1

Definir mediante f| las conectivas lógicas:
"~", "·", "v", "→", "≡"

domingo, 13 de noviembre de 2011

Otro ejercicio de lógica

Mostrar que no hay equivalencias entre ninguno de los siguientes esquemas:

I      (x)(p ≡ Fx)


II      p ≡ (x)(Fx)
 

III   (∃x)(p ≡ Fx)
 

IV     p ≡ (∃x)(Fx)

_______
Nota:
Para este ejercicio vamos a usar un lenguaje con:

i) las letras 'p', 'q', etc. en lugar de un enunciado cualquiera (ejemplos: 'Russell es un filósofo', 'Algunos griegos son filósofos', 'el deseo es el deseo del otro', 'mi reloj no es un número') ;

ii) la letra 'x' como variable de objeto en un oración (así 'x es un auto' es verdadero de todos los autos);

iii) el cuantificador '(x)' que se lee 'para todo x';

iv) el cuantificador existencial '(∃x)' que se lee 'hay al menos un x tal que'

v) la letra de predicado F (que se lee en 'Fx' como: x es un F);

vi) la negación '~' que servirá para construir un enunciado de la forma '~ p' el cual será verdadero si y solo si el enunciado constituyente 'p' es falso;

vii) la conjunción '·' que dará lugar a enunciados de la forma 'p · q', los que serán verdaderos en el único caso en que tanto 'p' como 'q' sean ambos verdaderos;

viii) la disyunción 'v' con la que obtendremos enuciados como 'p v q' que serán verdaderos en cualquier caso, excepto en aquél en que tanto 'p' como 'q' sean falsos;

ix) la implcación material '⊃' con la que se formarán enunciados de la forma 'p ⊃ q' equivalentes a '~ p v q';

x) por último, el símbolo '≡' de la equivalencia material para enunciados como 'p ≡ q' que significan 'p si y solo si q', y pueden definirse así: (p ⊃ q) · (q ⊃ p).

Con este lenguaje podemos escribir, por ejemplo:

1) (∃x)(p · Fx)

Este enunciado será verdadero siempre que (p · Fx) sea verdadero de algún objeto, lo que a su vez tiene lugar si se interpreta a 'p' de tal manera que sea verdadero y a 'F' de tal maner aque sea verdadero de algo. Por ello, resulta equivalente a este otro enunciado:

2) p · (∃x)(Fx)

el cual, del mismo modo, será verdadero siempre que 'p' lo sea y que al menos un objeto x sea F.

Consideremos

3) (x)(p · Fx)

Dado que todo enunciado de la forma '(x)(ϕx)' equivale a '~(∃x)~(ϕx)' (pues 'Todo es ϕ' es lo mismo que 'Ninguno no es ϕ'), (3) equivale a '~(∃x) ~ (p · Fx)'. Según las leyes de De Morgan, entonces, equivale a '~(∃x)(~ p v ~ Fx)'; lo cual equivale (teniendo en cuenta lo dicho respecto de (1) y (2)) a '~[~ p v (∃x) ~ Fx]'; que, según las leyes de De Morgan equivale a 'p · ~(∃x) ~ Fx', que a su vez equivale a

4) p · (x)(Fx)

Así, (3) ≡ (4)

domingo, 6 de noviembre de 2011

Solución al ejercicio de lógica

(1) p ≡ p

(2) ~(∃x) (~xεγ · xεα · xεß) ≡ ~(∃x) (~xεγ · xεα · xεß)

(3) ~(∃x) (xεα · xεß · ~xεγ) ≡ (x) ~(~xεγ · xεα · xεß)

(4) ~(∃x) (xεαß · ─γ) ≡ (x) [~xεγ ⊃ ~(xεα · xεß)]

(5) La clase [(αß) X ─γ] es vacía ≡ Todo es miembro de la clase (─γ * ─αß)

(6) αß X ─γ = 0 ≡ ─γ * ─αß = 1

(7) αβ—γ = 0 ≡ —γ ⊂ —(αβ)

jueves, 3 de noviembre de 2011

Un ejercicio de lógica

Demuéstrese que

αβ—γ = 0 ≡ —γ ⊂ —(αβ)

partiendo de

p ≡ p



Nota

Téngase presente que:

‘xε(α X ß)’ = Dƒ ‘(x) (x ε α . x ε ß)’;

que la fórmula del producto lógico ‘α X ß’ a veces se escribe ‘αß’; y que la anteposición a una fórmula de clase de el signo ‘-‘ (o la superposición de una barra horizontal como en el ejercicio) nos dá la de su complemento. Así:

‘xε-α’ = Dƒ ‘~(xεα)’

Asimismo:

‘α = 0’ significa ‘no hay nada que sea alfa' (o sea, es un enunciado, no una fórmula de clase).

Y por último:

es también un enunciado, a saber, aquél según el cual la clase α está incluída en la clse ß.