El ejercicio con equivalencias materiales

(viene de este post, al que remito)

Según la definición de '≡':

p ≡ q equivale a (p ⊃ q)·(q ⊃ p)

Si V(p) = 0 (o sea, la valuación de 'p' es 0), entonces tenemos que:

(⊥ ⊃ q)·(q ⊃ ⊥)

Y como cualquier condicional material cuyo antecedente sea falso es verdadero:

⊤ · (q ⊃ ⊥)

Pero en una conjunción, su valor de verdad es verdadero sólo si cada una de las proposiciones es verdadera y falso en caso contrario, así que la conjunción de una ⊤ y cualquier proposición será valuada igual que esa otra proposición, de ahí que podamos reducir a:

(q ⊃ ⊥)

Ahora bien, en una implicación material, si el consecuente es falso, entonces ella misma será veradera si su antecedente también es falso o falsa en el otro caso. Es decir, tendrá un valor contradictorio a su antecedente, por lo tanto:

~ q

Así, entonces:

'⊥ ≡ q' equivale a '~ q'

En el caso en que 'p' en 'p ≡ q' sea verdadero:

(⊤ ⊃ q)·(q ⊃ ⊤)

Cualquier condicional material cuyo consecuente sea verdadero es verdadero, por lo tanto podemos eliminar '(q ⊃ ⊤)' de la conjunción. Por otra parte, una conjunción cuyo antecedente sea verdadero será verdadera o falsa según lo sea su consecuente. Por tanto:

'(⊤ ⊃ q)·(q ⊃ ⊤)' equivaldrá a 'q'

Haciendo las transformaciones correspondientes en las cuatro expresiones del ejercicio:

si V(p)=1

I (x) (Fx)
II (x) (Fx)
III ∃x (Fx)
IV ∃x (Fx)

Donde I y II equivalen entre sí y difieran ambos tanto de III y de IV, los cuales también difieren entre sí.

si V(p)=0

I (x) (~Fx)
II ~(x) (Fx)
III ∃x (~Fx)
IV ~∃x (Fx)

Donde I difiere de II y III de IV, con lo que se vé lo que pedía el ejercicio.

Fuente: Quine, Los métodos de la lógica.