Valideces

En este antiguo post nos ocupamos con cierto razonamiento pretendidamente un 'falso silogismo', pero que tal predicación nos pareció fundarse en un desconocimiento respecto del predicado al que recurría por parte de quien la emitió. Pero -sorprende que el lector (independientemente de la extensión de dicho término) no lo haya advertido- existe cierto problema en cuanto a la forma que no mencionamos.

Una forma posible sería la siguiente:

Todo A es B

j es A

por lo tanto, j es B

Este tipo de silogismo es llamado tradicionalmente categórico, y podría reformularse del siguiente modo si en lugar de 'j' se da como sujeto de la premisa menor y la conclusión “C”, que vendría a significar la clase contituida por 'j' y nadie más:

Todo A es B

Todo C es A

por lo tanto, Todo C es B

Tratándose de tres proposiciones universales afirmativas, podemos decir que se trata de un silogismo del modo AAA (BARBARA) y siendo el término medio sujeto de la premisa mayor y predicado de la menor de la primer figura.

Sin embargo, en el post citado habíamos preferido una fórmula con tres variables, tres letras de predicado que conforman seis enunciados subordinados vinculados por medio de conectivas lógicas como por ejemplo la conjunción . Si consideramos que cada letra de predicado, ya sea monádica o diádica, forma junto a su o sus varibles un enunciado podría dársele la siguiente forma:

Enunciado cuya consistencia puede verse en esta tabla:

¬(p·q·¬r)· s → ¬t V u

1 1 1 01 1 1 1 01 1 1

1 1 1 01 1 1 0 01 0 0

1 1 1 01 1 1 1 10 1 1

1 1 1 01 1 1 1 10 1 0

1 1 1 01 0 0 1 01 1 1

1 1 1 01 0 0 1 01 0 0

1 1 1 01 0 0 1 10 1 1

1 1 1 01 0 0 1 10 1 0

0 1 1 10 0 1 1 01 1 1

0 1 1 10 0 1 1 01 0 0

0 1 1 10 0 1 1 10 1 1

0 1 1 10 0 1 1 10 1 0

0 1 1 10 0 0 1 01 1 1

0 1 1 10 0 0 1 01 0 0

0 1 1 10 0 0 1 10 1 1

0 1 1 10 0 0 1 10 1 0

1 1 0 01 1 1 1 01 1 1

1 1 0 01 1 1 0 01 0 0

1 1 0 01 1 1 1 10 1 1

1 1 0 01 1 1 1 10 1 0

1 1 0 01 0 0 1 01 1 1

1 1 0 01 0 0 1 01 0 0

1 1 0 01 0 0 1 10 1 1

1 1 0 01 0 0 1 10 1 0

1 1 0 10 1 1 1 01 1 1

1 1 0 10 1 1 0 01 0 0

1 1 0 10 1 1 1 10 1 1

1 1 0 10 1 1 1 10 1 0

1 1 0 10 0 0 1 01 1 1

1 1 0 10 0 0 1 01 0 0

1 1 0 10 0 0 1 10 1 1

1 1 0 10 0 0 1 10 1 0

1 0 1 01 1 1 1 01 1 1

1 0 1 01 1 1 0 01 0 0

1 0 1 01 1 1 1 10 1 1

1 0 1 01 1 1 1 10 1 0

1 0 1 01 0 0 1 01 1 1

1 0 1 01 0 0 1 01 0 0

1 0 1 01 0 0 1 10 1 1

1 0 1 01 0 0 1 10 1 0

1 0 1 10 1 1 1 01 1 1

1 0 1 10 1 1 0 01 0 0

1 0 1 10 1 1 1 10 1 1

1 0 1 10 1 1 1 10 1 0

1 0 1 10 0 0 1 01 1 1

1 0 1 10 0 0 1 01 0 0

1 0 1 10 0 0 1 10 1 1

1 0 1 10 0 0 1 10 1 0

1 0 0 01 1 1 1 01 1 1

1 0 0 01 1 1 0 01 0 0

1 0 0 01 1 1 1 10 1 1

1 0 0 01 1 1 1 10 1 0

1 0 0 01 0 0 1 01 1 1

1 0 0 01 0 0 1 01 0 0

1 0 0 01 0 0 1 10 1 1

1 0 0 01 0 0 1 10 1 0

1 0 0 10 1 1 1 01 1 1

1 0 0 10 1 1 0 01 0 0

1 0 0 10 1 1 1 10 1 1

1 0 0 10 1 1 1 10 1 0

1 0 0 10 0 0 1 01 1 1

1 0 0 10 0 0 1 01 0 0

1 0 0 10 0 0 1 10 1 1

1 0 0 10 0 0 1 10 1 0

Lo que esto nos muestra es que, siendo que la forma que se puede dar a un enunciado o a más de uno no es necesariamente una sola, al momento de dársele alguna sera menester atender a algún método que venga al caso. Es decir que esta forma no nos sirve para ver la validez porque nos da un enunciado sintético, no analítico. Téngase en cuenta que las respectivas formalizaciones se corresponden del siguiente modo:

por tanto:

Como en la forma de funciones veritativas no se vé cómo se produce la implicación, recurrimos a las letras de predicado, dándole al silogismo la forma:

La conclusión, lo único que dice es que –dado que la única variable no cuantificada en el post referido 'z' recibe una cuantificación universal- si ‘w’ recibe la relación ‘G’ con cualquiera, también lo hará de la manera ‘H’. Esto debe admitirse si se aceptan las premisas. La primera nos afirma que debe admitirse que alguien (‘y’ está cuantificado existencialmente) recibe la relación ‘H’ con cualquiera, siempre que suceda que también recibe las relaciones ‘G’ y ‘F’, conjuntamente, en el mismo sentido. La relación ‘F’ de cualquiera con respecto a ‘w’ está satisfecha en las mismas premisas, en particular en la segunda. Así, si ocurriera que ‘Gzw’, no podría ocurrir que no ocurriera ‘Hzw’ sin contradecir la primer premisa dado que se estaría afirmando la conjunción de ‘Fzw’ y ‘Gzw’. Suficiente por este post.

Función del objeto, el fetiche y la ambivalencia

Dice Levy-Bruhl que, el primitivo:

(31) «Intenta ante todo desgajar, en los objetos que atraen o retienen su atención, la presencia, el grado de intensidad y, por mucho que esto nos parezca extraño a nosotros, las disposiciones benévolas u hostiles de esta esencia, o fuerza, o mana, o imunu, o de cualquier nombre que queramos darle. Es preciso prevenirse contra los peligros de que se siente amenazado cada momento, y este temor regula su actitud con relación a los seres y a los objetos.»

(32) «Para él los caracteres objetivos que permiten distinguir los seres, incluso los que son muy vecinos entre sí, no poseen demasiada importancia, a menos que tengan una significación mística. Se sirve del conocimiento, a menudo preciso que tiene de ellos. El papel que desempeña en su actividad es de hecho subalterno. Pues el éxito o el fracaso en la caza, en la pesca, en el cultivo de las plantas y, en general, en todas las iniciativas en que se enrola el primitivo depende antes que nada de la fuerza o de las fuerzas misteriosas, invisibles, extendidas por todas partes. A ellas conviene, por tanto, aplacar, o bien herir o tornar favores.»

Caza, pesca, cultivo se engloban más brevemente bajo el término economía cuyo carácter primario no debe tomarse como la delimitación de algún sector dentro de la sociedad sino como determinado por el grado de desarrollo alcanzado por el conjunto de la misma. «Todas las iniciativas en las que se enrola el primitivo» debe entenderse sí en un sentido más restrictivo, especificado en el párrafo en cuestión, que es el que atañe a aquella ‘relación’ de la que tanto a Hume como a Kant parece sobreimpresa en el fenómeno, pero que en el caso de este último en cuanto señorío de la razón sobre su campo(1), mientras que en el de aquél, arguyendo la dependencia de ésta relativa al habitus(2).

Así, la iniciativa está sujeta, quiero decir determinada si bien no en cuanto a su origen sino en a su curso y desenlace, a aquellas fuerzas misteriosas e invisibles. Esta descripción apunta tal vez a poner en primer plano la relación de las fuerzas con el resultado y la capacidad de este de determinar una afección en aquellas, contraponiéndose a otras donde parecería primar otro ordenamiento, en el que el resultado pareciera ser anterior (estar ‘más acá’) que la preocupación por las fuerzas. En lugar de buscar la benevolencia de las fuerzas antes de los resultados; dados estos, peden atribuírseles a las mismas en función del carácter de éste. E incluso, diría, dado el resultado y, ante todo –e incluso tal vez prescindiendo de él-, dado el carácter de la sede de la fuerza, se los relaciona especificando la naturaleza benevolente u hostil. Podrían contraponerse así estos dos distintos ordenamientos, uno donde parece que lo primero es la máxima, su representación mental, o la necesidad de (la realidad de) algún objeto: debe cazarse algún animal. Luego acaece el ritual, que en virtud de la creencia en las fuerzas invisibles tras ciertos otros objetos, se les pide a ellos, por así decir, se depende de los mismos quienes proveerán la suerte. Por último está el resultado, la suerte, buena o mala, que satisfará o no la necesidad y cualificará las fuerzas de benévolas u hostiles. En el otro caso muy por el contrario: lo primero es la dependencia, en virtud de la cual se le pide al objeto (fetiche) y tras él a la fuerza que se le supone detrás. Luego está el resultado (cosecha, por ejemplo) que cualifica la fuerza (o a lo sumo la disposición de su sede relativa a su tributario). Pero la diferencia no estriba en el orden sino en otro lugar. El aspecto inicial de la misma indica a ésta como la forma en que es representado el fetiche y, más en particular, aquel atributo suyo correlato de la ambivalencia del que depende de él. Si no queremos descartar un criterio basado en el ordine podemos apuntar: en uno, la ambivalencia es primaria respecto al efecto que podrá ser recurrido con el fin –posible o no- de anularla; en otro el efecto ya no parece capaz de tal determinación en lo absoluto –no ya en sí como antes sino para quien pende de él-, dejando la ambivalencia en un plano para el cual no se trata ya de su anulación por el efecto, debiéndose por tanto –en caso de que se pretenda ésta- buscársela en otro sitio.

En la contemporaneidad la concepción de los más parece ser que la benevolencia o malevolencia cualifica a la sede de la fuerza y que lo que en todo caso presente indeterminación no es su disposición sino más bien los méritos del subordinado. Como escribió Freud, el fracaso en el moderno incide fomentando su culpabilidad mientras que el primitivo no vacila en culpar a su fetiche.Pero además debe concebirse de otro modo la función del efecto, que no puede hacer las veces de causa de una cualidad en lo suprasensible sino que ésta estará en el principio de la determinación de la praxis y del resultado suyo, lo que conduce a la cuestión del intérprete del mismo ya que la función se ve modificada: ya no será función (ambivalente) del objeto ‘x’ donde el efecto (f(x)) permitirá su cálculo; el efecto pasa al lugar del objeto (‘x’) siendo la imagen f de x la nueva sede de la ambivalencia quedando la función a cargo de un intérprete señalado por el objeto. Así se comprende fácilmente por qué el producto (también caza o recolección) antes que definir la ambivalencia será ahora secundario a la función de interpretación. No se trata sin embargo de postular que entre los primitivos no haya intérpretes, al contrario. Tal vez la característica diferencial podría buscarse en la relación entre el fetiche y la interpretación; la encarnación del fetiche en un ente con facultad discursiva hace que exista la posibilidad de que un fetiche interprete. Para simplificar esto representémoslo así:

I ___ Ambivalencia (objeto) = efecto

II ________Objeto (efecto) = ambivalencia,

donde f es el dato desconocido.

______

Notas:

1. Véase si no la segunda de las analogías de la percepción en el capítulo del sistema de los principios del entendimiento puro del libro segundo presente en la división primera de la segunda parte de la doctrina elemental trascendental de la razón pura especulativa.

2. Cf. la primera parte de la sección quinta de su Investigación sobre el conocimiento humano.

Una progresión geométrica

Teníamos que hallar esta suma. Lo primero será hacer de la suma una progresión geométrica equivalente.


Recuérdese que en una progresión tal cada término equivale al producto del anterior por un número, llamado razón o r. Por ende:

(i) a₂ = r·a₁, a₃ = r·a₂, ..., a_n = r·a_n-1


El último término, pues, equivaldrá al primero multiplicado por la razón tantas veces como términos haya (exceptuando el primer término, como es evidente). O sea:

(ii) a_n = r^n-1a₁


Ahora bien ¿dónde está la progresión geométrica en la suma: 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11...11?



Como

1 = (1/9)·9,

tanto como

11 = (1/9)·99,

etc., y por otra parte

9 = 10 - 1,
99 = 10² - 1,

etc., entonces,

1 = (1/9)·10 - 1
11 = (1/9)·10² - 1
111 = (1/9)·10³ - 1
11...111 = (1/9)·10ⁿ - 1


Por lo que la suma queda:


(1/9)·(10 + 10² + 10³ + 10ⁿ - n)

O sea:

(iii) (1/9)·(10-1 + 10² - 1 + 10³ - 1 + 10ⁿ - 1)

Es decir, una progresión geométrica donde

a_n = 10

y

r = 10

Lo que tenemos que hacer ahora es calcular:

S = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n

Sabiendo que se trata de una progresión geométrica, si multiplicamos por r cada miembro de la igualdad:


S·r = a₁·r + a₂·r + ... + a_n-1·r + a_n·r
= a₁ + a₂ + ... + a_n + a_nr




Nótese que la serie multiplicada por la razón no es otra cosa que la misma serie a la cual se le descuenta el primer término, pero se le agrega uno que sería el que siguiera de haber sido n mayor en una unidad, más concretamente, se agrega el producto del último término y la razón.


S·r = S - a₁ + a_nr


Aquí viene lo más interesante. Pasamos la S de la izquierda al otro lado de la igualdad:

















Ahora, si teniendo en cuenta (ii) reemplazamos a_n :
















Ahora volvemos a (iii) y sustituimos por (iv) la progresión geométrica que involucraba:





________
Bibl.

Fauring, P. y otros (1994) Problemas de las olimpiadas de matemáticas del cono sur. Red Olimpica, Bs. As.

Dos problemas de lógica

En este link se encontrarán planteados los problemas significados en el título, posteados o comentados en el blog 'eltopologico'. El primero, reconstruido a partir de su solución escuchada en un programa de televisión, involucra 101 hombres, 100 de los cuales visten sombrero blancos o negros (sin saber, no obstante, cuál sea su propio color), se encuentra enunciado en la entrada y una solución posible en un comenario y en otro, el segundo problema, en el que intervienen 4 hombres y cinco discos, formulado por Jacques Lacan en El tiempo lógico y el aserto de certidumbre anticipada. Un nuevo sofisma.

Fruición e inhibición en la mímesis

¿Puede de alguien predicarse que le “guste” algún objeto sin que eso implique deseo relativo a existencia o posesión? o, en otros términos: Fórmula que, por su puesto, mantiene en la opacidad le vínculo que liga los predicados 'G' y 'D'.

Es este, casualmente, un punto de partida análogo al de la estética kantiana en lo concerniente a su juicio. Pero, sea o no afirmativa la respuesta, podríamos preguntar ¿en qué se basa el ‘efecto embriagador’ de la belleza (si es que lo hay)? Pues ¿no es acaso un contrasentido afirmar una satisfacción cuyo origen, o a lo sumo condición, sea si no una privación, cuando menos una renuncia, y en particular de esa misma satisfacción?

Si la belleza produce contento fundado en las inhibiciones de aquellas mismas pulsiones que vendría a satisfacer de no hallarse su meta avasallada ¿no se trata de algo ciertamente paradójico? Si una actriz, pongamos por caso, cuya técnica le impone el designio de recrear en su vivencia aquella sensación que debe representar, lleva a cabo la consigna de figurar la culminación de un acto sexual ¿en base a qué produce ese afecto, si no es más que una actuación frente a alguien que, podría decirse, se encuentra allí por mero accidente?

Figura en La República de Platón el enunciado según el cual el acto justo ha de ubicarse en un plano superior, ideal, al de la representación escénica de él, copia suya ¿debemos acaso por nuestra parte aplicar una relación semejante para el caso que nos ocupa? Pero resulta patente que tratándose del acto al que nos referíamos, la diferencia entre planos resulta más difícil de discernir.

¿Cómo lograría, quien acepta tal encargo, bajo la citada condición, frente a quien considera tal vez afectado –o que debiera actuar como sí así fuese- por el atributo ese que para Kant sería el correlato de una satisfacción desinteresada, salir airosa ante las objeciones que pudieran provenir de quien fuera, en caso de tenerlo, su objeto ya no accidental sino elegido, recíproco quizá, en caso de presenciar él la dramatización?

Es esta última una pregunta sensiblemente diversa, pero no por ello debiera a priori creerse que sea cabalmente independiente de la otra. ¿Qué hace, al menos en un caso así, de la ‘copia’ algo en esencia diferente al ‘originial’ -que no es ese carácter escénico (cuya ausencia en él no debiera considerarse esencial)-, sino su localización, apta para convocar la atención del sentido externo del espectador, si no es que son más de uno, que en tal caso se situaría o situarían por fuera de la escena?

De todas formas, la cuestión no era tal pretendida diferencia como la aparente paradoja de la fruición que brota de un objeto en tanto lo que se satisface en él solo puede hacerlo en esa forma en cuanto mudó su meta, la cual ha por tanto devenido inhibida, lo que implica su sacrificio. ¿O debemos pensar en una suerte de recreación de un estado primordial centrado en un objeto de aversión?

Variables en lugar de clases

Variables en lugar de clases

Ya vimos cómo prescindir tranquilamente de los términos singulares en un lenguaje lógico traduciendo fórmulas que involucren la letra iota a otras que no lo hagan; es decir haciendo de los enunciados que incluían en sí descripciones como su sujeto o unos con cuantificadores. Ahora nos ocuparemos con los términos generales. Los términos generales son aquellos que resultan verdaderos de una clase de objetos y que suelen ser referidos mediante letras como ‘F’, ‘G’, ‘H’, etc. Pero también pueden usarse otras letras como α, β, γ, etc., para representar clases y la letra ϵ para simbolizar ‘es un miembro de’.

Ahora bien, podría el lector escéptico preguntar con qué utilidad extender el lenguaje formal si con él sólo pudiéramos venir a representar lo mismo respecto de lo que ya estábamos en condiciones de hacerlo con los solos conceptos de validez y consistencias cuantificacionales, es decir, prescindiendo de esta simbolización de las clases, cuya suposición parece contradecir tanto a la navaja de Occam como al obispo de Berkley de maneza asaz innecesaria.

Por otra parte, habíamos inquirido por un modo de definir el concepto quineano de ‘antepasado’ (es decir, incluyendo es su extensión el individuo de cuyos antepasados se trate) a partir del solo término de ‘progenitor’. Y además podemos introducir la pregunta por la posibilidad de prescindir del signo ‘=’ y de poder reformular aquellas sentencias donde el mismo aparezca conservando su valor lógico, tales como ‘x = y’.

Con respecto a este concepto quineano de ‘antepasado’, algo que resulta es que todos los progenitores de integrantes la clase de antepasados de ‘y’ son asimismo integrantes de dicha clase, además de que el mismo ‘y’ lo es. Dado que hay una clase que, incluyendo todos los antepasados de ‘y’, no contiene sino estos mismos antepasados, entonces para ser antepasado de ‘y’ basta con pertenecer a cualquier clase que incluya a ‘y’ y a todos los progenitores de todos sus miembros, es decir, a todas estas clases. De modo que:

‘x’ pertenece a toda clase que contenga a ‘y’ y a todos los progenitores de sus miembros;

Lo que equivale a:

∀α (y ϵ α ∧ todos los progenitores de miembros de α pertenecen a α ⊃ x ϵ α)

es decir:

∀α [y ϵ α ∧ ∀z∀w(w ϵ α ∧ Fzw ⊃ z ϵ α) ⊃ x ϵ α]

Con un criterio semejante, podemos decir que si ‘x’ e ‘y’ son indénticos, entonces pertenecen cada uno a toda clase que incluya al otro.

Así, sustituimos

x = y

Y

α = β

respectivamente por:

∀α (x ϵ α ↔ y ϵ α)

y

∀x (x ϵ α ↔ x ϵ β)

De manera general, dice Quine que un enunciado cualquiera puede ser analizado a partir de los conceptos de validez o consistencia en tanto en cuanto se trate de un enunciado cuyas variables de clase han de remitir todas a cuantificadores prenexos y, además, donde los cuantificadores bajo cuyo alcance caigan las variables de clase han de ser o todos universales o todos existenciales. Si no, no podrá serlo y sus variables de clase serán irreductibles a los mencionados conceptos.