sábado, 18 de febrero de 2012

El Cuadro de las Oposiciones

En la lógica tradicional se dió el nombre de Cuadro de las Oposiciones a ciertas relaciones lógicas que se producían según el sistema aristotélico entre diferentes proposiciones categóricas de mismo sujeto y predicado resultantes de cambiar calidad, cantidad o ambas.

Recuérdese que las así llamadas proposiciones categóricas afirman o niegan relaciones entre clases, una de ellas representada por el término sujeto, otra por el predicado.

Según su calidad, una proposición de este tipo puede incluir o excluir una clase (denotada por el término sujeto) en otra (designada por el predicado). Según la cantidad, una proposición distribuye o no su término sujeto. Esto último significa que se refiere a todos los miembros de la clase que el término sujeto designa, en cuyo caso estaría distribuído aquél, o, en el caso contrario, no lo está.

Las proposiciones pueden ser entre sí contrarias, conradictorias, subalternas y subcontrarias.

Dos proposiciones son contrarias si es imposible que ambas sean verderas; son contradictorias si, además de ser contrarias, no es posible que sean las dos falsas; son subcontrarias en el caso en que no pueda ocurrir que las dos sean falsas (pudiendo ser ambas verdaderas). Una proposión es subalterna de otra cuando, teniendo ambas los mismos términos sujeto y predicado y la misma calidad, distribuyendo la universal el primero, ésta no lo hace. Y se llama subalternante la inversa.

Las cuatro formas típicas de las proposiciones categóricas son:

A: Todo A es B
E: Ningún A es B
I: Algún A es B
O: Algún A es no B

Y tradicionalmente se extraían ciertas inferencias 'inmediatas' a partir de las oposiciones entre ellas.

Por ejemplo (teniendo, como se dijo, mismos sujeto y predicado), de las verdad de A se infería la falsedad de O por ser ambas contradictorias, y la de E, así como la verdad de I. La falsedad de A implicaba la falsedad de O y dejaba las otras dos indeterminadas.

De la verdad de E se infería la falsedad de A y de I; y la verdad de O. De su falsedad, la verdad de I.

Podía inferirse, a partir de I, que no podía ser E, quedando indeterinadas A y O.

En cuando a O, se su verdad se infería la falsedad de A (sin determinar la valuación de las restantes); mientas que de su falsedad la verdad de A (su contradictoria), y de I; así como la falsedad de E.
(Imagen: wikipedia)

Pero el tema del post no era exponer el sistema tradicional de las proposiciones categóricas sino mencionar un comentario respecto de la crítica de la ortodoxia a ese sistema, comentario sobre el que Strawson llama la atención en su Introducción a una teoría de la lógica (Cap. 6).

La crítica a la que me quería referir llega a la conclusión de que no hay una interpretación coherente y aceptable del sistema -y en particular del cuadrado de las oposiciones- tomados en su conjunto, en una interpretación de las constantes de dicho sistema que se aproximen al uso ordinario de las palabras en que se expresan. Para lo cual se parte del presupuesto de que debe optarse entre sólo dos posibles traducciones de las mismas al sistema de la lógica de predicados.

Estas son:

1:
A: ~∃x (Fx ∧~Gx)    o    ∀x (Fx⊃Gx)
E: ~∃x (Fx ∧ Gx)      o   ∀x (Fx ⊃ ~Gx)
I: ∃x (Fx ∧ Gx)         o  ~∀x (Fx ⊃ ~Gx)
O: ∃x (Fx ∧ ~Gx)     o  ~∀x (Fx ⊃ Gx)

y 2:

A: ~∃x (Fx ∧ ~Gx) ∧ ∃x Fx
E: ~∃x (Fx ∧ Gx) ∧ ∃x Fx
I: ∃x (Fx ∧ Gx)
O: ∃x (Fx ∧ ~ Gx)

En ambos casos deben resignarse algunas de las reglas de las que mencionamos arriba que se representan en el cuadro de las oposiciones.

En la tabla 1, por ejemplo, A y E pueden ser verdaderas a la vez, por lo que ya no son contrarias. O e I, por su parte, dejan de ser subcontrarias.

Con respecto a la segunda tabla, por ejemplo, O e I tampoco son subcontrarias. Además A y O por un lado, y I y E por otro, dejan de ser contradictorias.

Strawson muestra cómo es que hay al menos dos maneras diferentes de interpretar A, E, I, O para las que las leyes del sistema tradicional siguen siendo válidas.

Una de ellas, la que le parece más importante tiene que ver con la crítica de la teoría de la denotación de Russell. Brevemente, mientas en un caso "los libros que están arriba de la mesa son todos en inglés" presupone que para quien enuncia la proposición la clase "libros que están arriba de la mesa" no es vacía; en el otro "el rey de Francia es calvo" el que haya rey de Francia. Si no hay libros arriba de la mesa, la primera no es verdadera; si no hay rey de Francia la segunda no es falsa. Pero no me quería extender en este tema en este momento.

La cuestión a que quería llegar era: ¿qué fórmulas de la lógica de predicados pueden ofrecerse para traducir las cuatro formas de juicios categóricos A, E, I, O, que interpreten sus constantes y que conserven las leyes tradicionales, si es que las hay?