sábado, 8 de septiembre de 2012

Raíces de una función de segundo grado

Sabemos, porque es asignatura de la secundaria, que para hallar las raíces de una función cuadrática f(x) = ax² + bx + c, esto es, para encontrar para dicha función aquellos (o aquél) valores de x para los que dé cero, podemos servirnos de la fórmula siguiente:






Lo que tal vez resulte de utilidad, dado lo ya dicho, es el ver cómo se obtiene a priori, es decir, no sólo con el método a posteriori de ver que de hecho funciona¹.

Entonces, partimos de la siguiente ecuación de segundo grado:

ax² + bx + c = 0

Que equivale a

ax² + bx = −c

Si se multiplican lo miembros de la igualdad por 4a, se obtiene:

4a·(ax² + bx) = 4a·−c

es decir

(1)  4a²x² + 4abx = −4ac

Por otra parte, considerando la siguiente igualdad

(2)  (2ax + b)² = 4a²x² + 4axb + b²

puede verse que el primer miembro de (1) se parece en todo al segundo de ésta última, con la sola diferencia de que en ella se le suma b². Luego, si sumamos b² a sendos miembros de (1) tenemos

4a²x² + 4abx + b² = −4ac + b²

Considerando la equivalencia (2), reemplazamos el primer  miembro:

(2ax + b)² = −4ac + b²

que es equivalente a



Y si despejamos la x hallamos la fórmula buscada.

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1. Cf. Álgebra, Repetto, Linskens y Fesquet donde figura la derivación que aquí se cita.