domingo, 18 de noviembre de 2012
Un prueba en la teoría Nicod-Lukasiewicz
Veamos la prueba de «p → p» en el sistema Nicod-Lukasiewicz.
Recordemos el axioma: p/qr | (s/ss) / (sq → ps)
Sustituyendo en él: 'p' por 'p/qr', 'q' por 's/ss', 'r' por 'sq → ps' y 's' por 't', obtememos:
[p/qr|(s/ss)/(sq → ps)] | t/tt / (t|s/ss → p/qr|t)
Nótese que la parte entre corchetes es el axioma mismo, por tanto podemos aplicar la regla, lo cual nos permite afirmar:
(I) t|s/ss → p/qr|t
Sustituyendo, nuevamente en el axioma, 'p' por 't|s/ss', 'q' y 'r' por 'p/qr|t', 's' por 'w', obtenemos:
(t|(s/ss) → p/qr|t) | (w → w) / (w|(p/qr|t) → t/(s/ss)|w)
Y aplicando la regla (teniendo en cuenta I), obtenemos:
(II) w|(p/qr|t) → t/(s/ss)|w
Ahora, realizamos en (II) la siguiente sustitución:
'w' por 'p/qr'; 'p', 'q' y 'r' por 's'; 't' por 'sq → ps', 's' por 't' y 't' por 'sq → ps'. Obtenemos el condicional:
p/qr|(s/ss)/(sq → ps) → (sq → ps)/(t/tt)|p/qr
Cuyo antecedente no es sino al axioma, y por ende:
(III) (sq → ps)/(t/tt)|p/qr
Sustityendo en (I) 't' por '((st → ts)|t/tt)' y 's' por 't':
(st → ts)/(t/tt)| t/tt → p/qr | (st → ts)/(t/tt)
Y como reemplazando en (III) 'p', 'q' y 'r' por 't' nos da:
(st → ts)/(t/tt)|t/tt
Luego:
(IV) p/qr | (st → ts)/(t/tt)
Reemplazando en (IV) 'p' por 't|s/ss' y 'q' y 'r' por 'p/qr|t', obtenemos:
(t|s/ss → p/qr|t) | (st → ts) / (t/tt)
Aplicando la regla (teniendo en cuenta (I)), deducimos:
⊢ t/tt
Que es lo que se quería probar.
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