Hemos visto aquí
que podía, una vez introducido el cuantificador universal,
intruducirse 'por definición' el existencial con la siguiente
fórmula: (∃a)A ≡df
~(a)~A.
Esto significa que el universar está
implicitamente definido en los axiomas mientras que el otro a partir
de él. Facil resulta probar, dada la definición, que ~(∃a)A ≡
(a)~A, que (∃a)~A ≡ ~(a)A y que y ~(∃a)~A ≡ (a)A; y en
todo caso lo dejaremos para el lector.
Por otra parte, en la deducciónnatural, no se introduce un por defición y otro en los axiomas. De hecho,
no hay axiomas sino reglas en los cuales está implícita su
definición sintáctica. Por su puesto que no se debe ni al azar ni a
ninguna armonía prestablecida que las equivalencias se cumplan en
este sistema, pues al elaborárselo eran condición suya. Pero veamos
cómo probarlas en él.
Primero: (x)A ≡ ~(∃x)~A
1 (x)A sup
2 (∃x)~A sup
3 ~A sup
4 A E∀, 1
5 ⊥ 3 y 4
6 ~A → ⊥ T.D. (3 a 5)
7 ⊥ E∃ (2 y 6)
8 ~(∃x)~A RAA (2 - 7)
9 (x)A → ~(∃x)~A T.D. (1 a 8)
1 ~(∃x)~A sup
2 ~A sup
3 (∃x)~A I∃ 2
4 ⊥ 1 y 3
5 ~~A RAA (2-4)
6 A Dneg
7 (x)A I ∀
8 ~(∃x)~A → (x) A T.D. (1 a 7)
Ahora: ~(a)~A ≡ (∃a)A
1 ~(x)~A sup
2 ~(∃x) A sup
3 A sup
4 (∃x) A I∃, 3
5 ⊥ 2 y 4
6 ~A RAA (3-5)
7 (x)~A I∀, 6
8 ⊥ 1 y 7
9 ~~(∃x) A RAA(2-8)
10 (∃x) A D.Neg
11 ~(x)~A → (∃x) A T.D. (1 a 10)
Y los restantes pueden ser tarea del
lector.
2 comentarios:
Que buen blog! tratas unos temas muy interesantes :) ya te estoy siguiendo, y espero verte tambien por mi blog: arbol-de-amor.blogspot.com.ar
Saludos!!
Gracias mensajero, pasaré por tu blog a ver de qué se trata. Saludos
Publicar un comentario