viernes, 30 de agosto de 2013

Elementos del truco y las probabilidades



Supongo que el conjunto de lectores que hayan llegado a este post sabrán jugar y habrán jugado al truco, de modo que lo asumo. Ahora me interesaba anotar algunas cuestiones que el juego plantea. Pero antes una aclaración. El uso de la probabilidad no siempre es viable y muchas veces puede conducir a error. Por ejemplo, J puede estar jugando y ver que el otro jugador K, tras haber cantado 30 de envido dejó en la mesa, sucesivamente un 7 de espadas y un 12 de copas. La lógica indicaría que tiene el 3 de espadas, entonces no acepta el truco que le canta y se va al mazo. Pero supongamos que K mintió el envido y tenía, en lugar de 30 no más que 7, y en lugar del 3 de espadas le quedaba el cuatro de copas. En este caso, la conclusión sacada lógicamente ¿fue beneficiosa o perjudicial? Como suele ocurrir, las presunciones no fueron las mejores. Cuestiones similares pueden plantearse al uso de la probabilidad en algunos casos.


Pero veamos, un maso de cartas de truco M tiene en total 40 cartas. ¿Cuál es el número total de manos que podrían tocarle a un jugador? Una mano es un conjunto de tres cartas (todo conjunto con las mismas tres cartas es idéntico, todo aquel donde alguna está en uno pero no en otro difieren). El número total en cuestión es el tamaño del conjunto de todos los subconjuntos de tres elementos de M. Definamos:

W =  {U : U ⊆ M & |U| = 3}

¿Cuántos elementos hay en W? Pues bien para responder eso hacemos C(40,3) o sea todas las combinaciones de 3 elementos tomados de M: 40 ⨯ 39 ⨯ 38 : 6. O sea:

|W| = 9880

Con esto podemos responder preguntas simples como cuál es la probabilidad de obtener el ancho de espadas en una mano.

Si sacamos esta carta del mazo nos quedan 39. El número total de pares que podemos formar con esas cartas es:

C(39,2) = 741

Y como por cada par hay una mano compuesta por él y el ancho, ese es el número de de manos posibles con esta carta. Llamemos A al conjunto de todos los conjuntos U de W tales que la carta determinada a ∊ U. Si llamamos a al ancho de espada, |A| = 741.

De esta forma, 741/9880 nos da la probabilidad de obtener dicha carta en una mano, esto es 

p(A) = 0,075.

 
Es evidente que esto mismo ocurre con cualquiera de las cartas, la misma probabilidad hay en que toque el cuatro de copas. ¿Y la de obtener un ancho de espadas o una cuatro de copas? Sin duda las probabilidades aumentan. Esto, llamando a y b a tales cartas, se representa así A ∪ B.

En este caso, no podemos sumar |A| + |B|, puesto que en tal caso duplicaríamos todas aquellas manos que tuvieran tanto a a como a b, ya que se encuentran tanto en A como en B. Para restarlas simplemente pensamos ¿cuantas manos hay que tengan tanto a como b? Pues bien, es obvio que no hay sino exactamente 38, una por cada carta que queda en el mazo luego de haberle separado a y b. Entonces:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩  B|

Sabemos que |A| = |B| = 741 y que |A ∩  B| 38, luego:

|A ∪ B| = 1444

O sea que:

 
p(A ∪ B) = 0,14615...

 

¿Y p(A ∪ B ∪ C)? Bueno, hacemos de modo similar:

|A ∪ B| + |C| - |(A ∪ B) ∩ C|

Tenemos entonces que calcular (A ∪ B) ∩ C. Son las manos que tienen a la vez c y también ya sea a o b. O sea el conjunto X ⊆ W tal que ∀U∊X (c ∊ U ∧ (a ∊ U ∨ b ∊ U)).

Pero esto significa que buscamos (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), pues
c ∊ U ∧ (a ∊ U ∨ b ∊ U) ≡ c ∊ U ∧ a ∊ U ∨ c ∊ U ∧ b ∊ U)

Sabemos ya que |A ∩ C| = |B ∩ C| = 38, pero no podemos sumar simplemente porque se duplicaría A ∩ C ∩ B ∩ C, que es el conjunto con la única mano {abc}. De este modo,

|(A ∪ B) ∩ C| = 38 + 38 - 1 = 75

Sabemos entonces que
|A ∪ B| + |C| - |(A ∪ B) ∩ C| = 1444 + 741 - 75 = 2110

Así,

 
p(A ∪ B ∪ C) = 0,213562753
 


Repasemos:

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩  B)

p(A ∪ B ∪ C) = p(A ∪ B) + p(C) - [p(A ∩ C) + p(B ∩ C) - p(A ∩ B ∩ C)]

Sustituyendo tenemos también:

p(A∪B∪C) = p(A) + p(B) - p(A∩B) + p(C) - [p(A∩C) + p(B∩C) - p(A∩B∩C)]

Que es lo mismo que:

p(A ∪ B ∪ C) =
p(A) + p(B) + p(C) - p(A ∩ C) - p(A ∩  B) - p(B ∩ C) + p(A ∩ B ∩ C)


Veamos ahora el siguiente problema: p(A ∪ B ∪ C ∪ D) = ?

Necesitamos averiguar |(A ∪ B ∪ C) ∩ D|. El tema está en conocer (A ∪ B ∪ C) ∩ D. Las condiciones a cumplir para cada elemento U de dicho conjunto son: d ∊ U y a ∊ U ∨ b ∊ U ∨ c ∊ U. Esto significa (con AB para A∩B):

DA ∪ DB ∪ DC

En cuanto a |DA ∪ DB| ya sabemos, es 38 + 38 - 1, o sea 75

Pero ¿cuáles son los elementos comunes de DA ∪ DB y DC? Evidentemente, las conjunciones DAC y DBC. Entonces:

|DA ∪ DB ∪ DC| = |DA ∪ DB|+|DC|-|ACD|-|BCD|
75 + 38 - 1 - 1 = 114

Entonces:

|A∪B∪C|+|D|-|(A ∪ B ∪ C) ∩ D| = 2110 + 741 - 114 = 2737

Así,
 


p(A ∪ B ∪ C ∪ D) = 0,277...

 


Esta es, por ejemplo, la probabilidad de ligar algún cuatro.

La fórmula desplegada es así:

p(A∪B∪C∪D) = p(A∪B∪C) + p(D) - p((A∪B∪C)∩D)
O sea:
=[p(A) + p(B) + p(C) - p(A∩C) - p(A∩B) - p(B∩C) + p(A∩B∩C)] + p(D) - [p(DA∪DB)+p(DC)-p(ACD)-p(BCD)]

Pero p(DA ∪ DB) =  p(DA) + p(DB) - p(ADB), luego:


=[p(A) + p(B) + p(C) - p(A∩C) - p(A∩B) - p(B∩C) + p(A∩B∩C)] + p(D) - [p(DA) + p(DB) - p(ADB) + p(DC) - p(ACD) - p(BCD)]

Esto es:

p(A∪B∪C∪D) =
p(A) + p(B) + p(C) + p(D) - p(AB) - p(AC) - p(BC) - p(DA) - p(DB) - p(DC) + p(ADB) + p(ACD) + p(BCD) + p(ABC)

Dado que para cualesquiera A, B, C, D, etc., p(A) = P(B), etc., y p(AB) = p(CD), etc.; etc., Si llamamos:

p(A) = α₁
P(AB) = α₂
P(ABC) = α₃

Recordemos que
 
α₁ = 741/9880
α₂ = 38/9880
α₃ = 1/9880

Simplificamos:

4·α₁ - 6·α₂ + 4·α₃ = 0,277327935

Los números 4, 6 y 4 vienen, respectivamente, de C(4,1), C(4,2) y C(4,3).

¿Qué pasa entonces si queremos saber p(⋃A₁...A₃₀)?

Procedemos así (tengamos en cuenta que para todo n mayor que 3
p(⋂A₁...Aₙ) = 0):


C(30,1)·α₁ - C(30,2)·α₂ + C(30,3)·α₃ = 0,987854251, de modo que


p(⋃A₁...A₃₀)  =  0,987854251

 

Evidentemente va a llegar un momento en que la unión sea tal que su probabilidad sea 1. ¿Cuál?

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