martes, 10 de septiembre de 2013

Sumando el envido

Jugando al truco, un jugador no a a cantar o dejar de cantar envido fijándose meramente en 'lo que tiene'. Sin embargo, muy probablemente mire primero sus cartas. Así, uno podría preguntarse ¿qué probabilidad existe de obtener envido, quiero decir, sumar 20 o más? Bueno, tal vez 20 sea demasiado poco, pero esto permite hacer algunas cuentas.

El número total de manos (con mano me refiero a las cartas que tiene un jugados luego de repartidas éstas) con exactamente dos cartas del mismo palo se obtiene así. Primero, C(10,2), es decir, 45. Esto lo graficamos así:

    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
1    -                                   
2    3    -                               
3    4    5    -                           
4    5    6    7    -                       
5    6    7    8    9    -                   
6    7    8    9    10    11    -               
7    8    9    10    11    12    13    -           
8    1    2    3    4    5    6    7    -       
9    1    2    3    4    5    6    7    0    -   
10    1    2    3    4    5    6    7    0    0    -

Los números del 1 al 10 en la primera columna y la primera fila representan las cartas de una palo, las cifras en el interior suman el valor que tienen ambas para el envido, menos 20. Esto nos da la siguiente distribucion de frecuencias:

20    3    3
21    3    6
22    3    9
23    4    13
24    4    17
25    5    22
26    5    27
27    6    33
28    3    36
29    3    39
30    2    41
31    2    43
32    1    44
33    1    45


En este cuadro vemos el envido a la izquierda, en el centro cuantas manos posibles conexactamente dos cartas de un mismo palo dan ese valor, y a la derecha la frecuencia acumulada.

Ahora bien, existen por cada uno de esos 45 pares, 30 cartas de otros palos. Luego, hay por cada palo 45 ⨯ 30 = 1350 manos con exactamente dos cartas de un mismo palo. De modo que en total son 1350 ⨯ 4 = 5400.

Pero es importante tener en cuenta lo siguiente: faltan sumar las manos con flor, es decir aquellas que tienen dos del mismo palo, pero también una tercera de ese mismo palo. El número total por palo es C(10,3) = 120. Esto nos da el número:

Manos al menos dos cartas de un mismo palo = 5880, o sea un 59,5% (ver post anterior).

Manos con flor: C(10,3) ⨯ 4 = 480, un 4,85%

A esto último también podíamos llegar así. Sea un palo cualquiera e. La probabilidad de obtener como carta 1 una e es 10/40, como sengunda 9/39 y como tercera 8/38. Y esto vale para cualquier palo. Pero (10÷40)×(9÷39)×(8÷38)×4 = 0,048582996.

Ahora veamos en un cuadro todas las manos-flor posibles de un palo:




En las dos columnas de la izquierda están las dos primeras cartas de la mano y en la primera fila la tecera. El valor correspondiente está representado como un número igual el puntaje de envido menos 20. Obtenemos así la siguiente distribución de frecuencias:

20    1    1
21    3    4
22    3    7
23    6    13
24    6    19
25    10    29
26    10    39
27    15    54
28    12    66
29    15    81
30    11    92
31    13    105
32    7    112
33    8    120
    120   

Recordemos que esto ocurre con cada palo. Podemos ahora completar el cuadro siguiente:

20    364    364
21    372    736
22    372    1108
23    504    1612
24    504    2116
25    640    2756
26    640    3396
27    780    4176
28    408    4584
29    420    5004
30    284    5288
31    292    5580
32    148    5728
33    152    5880
    5880   


Donde la columna izquierda nos da el envido de una mano y la izquierda el número total de manos que suman ese número. A la derecha la frecuencia acumulada.