miércoles, 30 de octubre de 2013

p → q →. p → ~q → ~p

(a)  [p →. q → ~.p → p] →. p → q →. p → ~.p → p
     Regla 2, Axioma 2

(b)  [~q →. q → ~.p → p] →. p → ~q →. p →. q → ~.p → p
     Regla 2, transitividad de →

(c)  ~q →. q → ~.p → p
     Regla 2, ex falso sequitur quodlibet
(d)  p → ~q →. p →. q → ~.p → p
     Regla 1, b y c

(e)  p → ~q →. p → q →. p → ~.p → p
     Lema 3, d y a

(f)  p → ~[p → p] → ~p →. [p → q →. p → ~[p → p]] →. p → q →. ~p
     Regla 2, transitividad de →


g  [~p →. p → p] →. ~[p → p] → ~~p
    Modus tollens


h  ~[p → p] → ~~p
     Regla 1, g y ex falso sequitud quodlibet

i   ~~p → p →. ~[p → p] → ~~p →. ~[p → p] → p
    transitividad de →

j   ~[p → p] → p
    Regla 1, i y Doble negación, y Regla 1, h.

k   p → ~[p → p] → p
     Lema 1, j


l  [p → q →. p → ~[p → p]] →. p → q → ~p
     Regla 1,  f y k

m  p → ~q →. p → q →. ~p
     Lema 3, e y l

miércoles, 23 de octubre de 2013

p →. ~q → ~[p → q]

Una prueba de  p →. ~q → ~[p → q]
 


(a) p → q → q →. ~q → ~[p → q]
    Sust., Modus tollens

(c) p → q →. p → q
    Sust., reflexividad de →

(d) p → q → p →. p → q → q
    Lema 2, (c)

(f) p →. p → q → p →. p → q → q
    Modus ponens, (d)

(g) [p →. p → q → p] →. p →. p → q → q
    Lema 2, (f)

(h) p →. p → q → p
    Sust., Axioma 1

(i) p →. p → q → q
    Modus ponens, (g y h)

(j) p →. q → ~[p → q]
    Lema 3, (a e i)

lunes, 7 de octubre de 2013

La probabilidad del envido

Retomando la entrada anterior, tenemos acá la siguiente tabla del envido:




Puntaje
Frecuencia

0 puntos
112
1 puntos
148
2 puntos
244
3 puntos
364
4 puntos
504
5 puntos
676
6 puntos
868
7 puntos
1084
20 puntos
364
21 puntos
372
22 puntos
372
23 puntos
504
24 puntos
504
25 puntos
640
26 puntos
640
27 puntos
780
28 puntos
408
29 puntos
420
30 puntos
284
31 puntos
292
32 puntos
148
33 puntos
152

En la columna izquierda tenemos los puntos que una mano tiene en el envido, en la derecha la cantidad de manos. La probabilidad acumulada se ve en esta otra tabla:


33 o más
2%
32 o más
3%
31 o más
6%
30 o más
9%
29 o más
13%
28 o más
17%
27 o más
25%
26 o más
32%
25 o más
38%
24 o más
43%
23 o más
48%
22 o más
52%
21 o más
56%
20 o más
60%
7 o más
70%
6 o más
79%
5 o más
86%
4 o más
91%
3 o más
95%
2 o más
97%
1 o más
99%
0 o más
100%


Así, la probabilidad de obtener 33 de envido equivale a 2 de cada 100. Esto nos da una media de 17,35951417 puntos, con un desvío estándar de 10,6024356.

_______________
Nota: si bien el lector muy probablemente lo sepa, como no hemos dicho aquí qué significan la media y el desvío estándar, haremos una mención de ello.
Sea W el conjunto de todas las manos posibles, cada una con un puntaje (existe una función de W a puntajes). La media es la suma de env(wi) para cada mano wi dividido por m, el número de manos. En el presente caso, m = 9880 y la sumatoria en cuestión da 171.512.
En general, si tenemos los valores para cada mano xi, siendo en total n las manos, la calculamos:




El desvío estándar es la raíz cuadrada de la varianza, la cual por su parte se calcula así: se toma primero la sumatoria del cuadrado de las diferencias entre cada uno de los valores env(wi) y la media. Luego se divide este número por m, el número de manos posibles en el ejemplo.