Ex falso sequitur quodlibet

La solución al primero de los ejercicios de este post, el cual consistía en demostrar que p ⊃ p, o sea la reflexividad de la implicación material, puede hallarse en este lugar (otra prueba pero basada en otros fundamentos, acá). Así que veamos en esta ocasión el que le sigue, que requería de la prueba del ex falso sequitur quodlibet (EFSQ), es decir de:

~p ⊃. p ⊃ q

Con esta ley ocurre que en caso de tener demostrada alguna fórmula y también su negación podría demostrarse cualquiera, de modo que ofrece importantes motivos para excluír toda contradicción del sistema, a fin de no volverlo superfluo. Dado que la demostración de una fórmula y su negación es en sí una contradicción, y que la contradicción es una fórmula necesariamente falsa, se entiende su nombre, que de lo falso se sigue cualquier cosa Veamos una prueba:

1 [~q → ~p →.p → q] → [~p → [~q → ~p →.p → q]]
 Axioma I, Sust.

2 ~p → [~q → ~p →.p → q] → [[~p →. ~q → ~p] → [~p →.p → q]]
  Axioma II, Sust.

3 ~q → ~p →.p → q
   Axioma III, Sust.

4 ~p → [~q → ~p →.p → q]
   modus ponens, 1 y 3.

5 [~p →. ~q → ~p] → [~p →.p → q]
  modus ponens, 2 y 4.

6 ~p →. ~q → ~p
  Axioma I, Sust.

7 ~p →.p → q
  modus ponens, 5 y 6.

Así como esta última fórmula, se puede probar desde luego otra versión del mismo principio en el cual se permutan las hipótesis, es decir de p →. ~p → q. Veamos.

1 p → ~~p
    doble negación¹

2 ~~p →. ~p → q
    EFSQ (infra)

3 [p → ~~p] → [~~p →. ~p → q → [p →. ~p → q]]
    ley de transitividad de →

4 ~~p →. ~p → q → [p →. ~p → q]
   modus ponens, 1 y 3.

5 p →. ~p → q
    modus ponens, 2 y 4.

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1. El lector habrá notado que no figura en este post una prueba de esta ley de doble negación, ni se linkea una en él. Sin embargo, tal prueba puede ofrecerse, puede quedar para el interesado.