Pruebas de validez de esquemas disyuntivos

Vamos a poner en práctica el método que figura en este lugar y que es allí citado de Hilbert y Ackerman (1928). Hablar de tal forma, haciendo referencia a un praxis, no es en realidad más que una manera de decir, pues no se trata aquí de práctica ya que según las distinciones de la teoría del conocimiento kantiana, no es otra cosa que un uso especulativo de la razón, y ni si quiera técnico. Uso puro y especulativo de la facultad de conocer pues (y sin siquiera referir a objetos¹). ¿Pero uso analítico o sintético? Dejaré este último interrogante para otra oportunidad. Vayamos ahora a las fórmulas proposicionales que figuran al final del ya citado post y que son:


(i)     A → (S → A ∧ S)
(ii)    ¬¬¬A ∨ ¬¬(¬A ∨ ¬S ∨ ¬C)


Empecemos por (i), Lo primero que tenemos que hacer de llegar a una fórmula equivalente pero sin ∧ ni →. Entonces:

A → (S → ¬(¬A ∨ ¬S))
A → (¬S ∨ ¬(¬A ∨ ¬S))
¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬A ∨ ¬S))

Esta fórmula equivale a la aserción conjunta de

¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬A))

por un lado y de

¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬S))

Es decir de

¬A ∨ ¬S ∨ A

que es manifiestamente válida tanto como

¬A ∨ ¬S ∨ S

Luego (i) es válida.

Veamos ahora la otra

¬A ∨ ¬A ∨ ¬S ∨ ¬C

Esta fórmula no es deductible en el método en cuestión, por tanto no es válida.

Ahora el primer ejercicio:

(1)     ¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

Esta fórmula es deductible a partir de

*   ¬(¬A) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

y de

**  ¬(B) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

de * obtenemos:

A ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

que a su vez es deductible a partir de

***     A ∨ ¬(C) ∨ C ∨ B

y de

****    A ∨ ¬(A) ∨ C ∨ B

de acuerdo a la regla (b). Ambas, *** y **** son fórmulas elementales. Ahora resta por probar **, a partir de la cual obtenemos las dos a partir de las cuales es deductible:

#   ¬B ∨ ¬(C) ∨ C ∨ B

y

#  ¬(B) ∨ ¬(A) ∨ C ∨ B

Ambas son evidentemente válidas, luego (1) lo era, quod erad demonstrandum.

_____________________
1. Nota: Muy bien, Frege quizá expresaría su protesta ante esto. Lo que no parece, de todas formas, es que se trate de una mera cuestión de palabras (Cf. Frege Los fundamentos de la aritmética, § 89).

Algunas demostraciones más sin el tercero excluído

Ya habíamos hecho, de éstas que había escritas, las primeras cuatro. Seguiremos ahora con las cuatro siguientes (nota: las reglas y las relaciones de demostrabilidad -a las que se remite, en la columna derecha, respectivamente, mediante RD. y R, y que son las que fundamentan cada uno de los pasos- pueden encontrarse en el primero de los citados, el lema L.I figura en el segundo).
 

Teorema v)        ⊢ (A → B) → ((B → C) → (A → C))

a)  A, A → B ⊢ B                                RD.6
b)  B, B → C ⊢ C                                RD.6
c)  B ⊢ (B → C) → C                           R.IV, b.
d)  A, A → B ⊢ (B → C) → C                R.II, a, c.
e)  A, A → B, B → C ⊢ C                     L.I, d.
f)  A → B, B → C, A ⊢ C                      R.I, e.
g)  A → B, B → C ⊢ A → C                   R.IV, f.
h)  A → B ⊢ (B → C) → (A → C)           R.IV, g.
i)  ⊢ (A → B) → ((B → C) → (A → C))   R.IV, g.


Teorema vi)     ⊢ ¬¬¬A → ¬A

a)  A, ¬A ⊢ ¬A                      RD.1
b)  ¬A, A ⊢ A                        RD.1
c)  A, ¬A ⊢ A                        R.I, b.
d)  A ⊢ ¬¬A                          R.V, a, c.
e)  A, ¬¬¬A ⊢ ¬¬A              L.I, d.
f)  ¬¬¬A, A ⊢ ¬¬A               R.I, e.
g)  A, ¬¬¬A ⊢ ¬¬¬A            RD.1
h)  ¬¬¬A, A ⊢ ¬¬¬A            R.I, g.
i)  ¬¬¬A ⊢ ¬A                       R.V, f, h.
j)  ⊢ ¬¬¬A → ¬A                   R.IV, i.


Teorema vii)    ⊢ ¬A → ¬¬¬A

a)  ¬A, ¬¬A ⊢ ¬¬A                  RD.1
b)  ¬¬A, ¬A ⊢ ¬A                    RD.1
c)  ¬A, ¬¬A ⊢ ¬A                    R.I, b.
d)  ¬A ⊢ ¬¬¬A                        R.V, a, c.
e)  ⊢ ¬A → ¬¬¬A                     R.IV, d.


Teorema viii)   ⊢ ¬A → ¬(A ∧ B)

a)  A ∧ B ⊢ A                            RD.3
b)  A ∧ B, ¬A ⊢ A                     L.1
c)  ¬A, A ∧ B ⊢ A                     R.I, b.
d)  A ∧ B, ¬A ⊢ ¬A                  RD.1
e)  ¬A, A ∧ B ⊢ ¬A                   R.I, d.
f)  ¬A ⊢ ¬(A ∧ B)                     R.V, c, e.

Algunas demostraciones sin el «tercero excluído»

En éste post habíamos puesto una lista de fórmulas válidas en el cálculo intuicionista, que pueden ser demostradas con el sistema deductivo que se presentó en este otro post, como un ejercicio para el lector.

A fin de alentar al lector a completar la tarea, se muestran abajo demostraciones de los primeras cuatro. Para poder leerlas remítase al segundo post citado donde figuran las "relaciones de deducibilidad" y las "reglas" (RD. y R. de la columna derecha).



TEOREMA i)      ⊢ A → ¬¬A

a)  ¬A, A ⊢ A               RD.1
b)  A, ¬A ⊢ A               R.I, a
c)  A, ¬A ⊢ ¬A             RD.1
d)  A ⊢ ¬¬A                 R.V. b, c.



TEOREMA ii)        ⊢ A → ((A → B) → B))

a)    A, A → B ⊢ B                 RD. (6)
b)    A ⊢ (A → B) → B            Regla IV, a.
c)    ⊢ A → ((A → B) → B))     Regla IV




TEOREMA iii)     ⊢ A ∧ (A → B) → B

a)  A, A → B ⊢ B                 RD.6
b)  A ∧ (A → B) ⊢ A            RD.3
c)  A ∧ (A → B) ⊢ A → B      RD.3
d)  A ∧ (A → B) ⊢ B            R.II, a, b, c.



TEOREMA iv)    ⊢ (A → B) → (¬B → ¬A)

Para este teorema demostraremos primero un Lema:

LEMA I:    si Φ ⊢ Ψ, entoces Φ, Χ ⊢ Ψ

a)  Φ ⊢ Ψ                     hipótesis
b)  Χ, Φ ⊢ Φ                 RD.1
c)  Χ, Φ ⊢ Ψ                 R.II, a, b
d)  Φ, Χ ⊢ Ψ                 R.I, c


a)  A, A → B ⊢ B                 RD.6
b)  A, A → B, ¬B ⊢ ¬B        RD.1
c)  A → B, ¬B, A ⊢ ¬B        R.I, b.
d)  A, A → B, ¬B ⊢ B           Lema I, a.
e)  A → B, ¬B, A ⊢ B           R.I, d.
f)  A → B, ¬B ⊢ ¬A             R.V, c, e.
g)  A → B ⊢ ¬B → ¬A          R.IV, f.
h)  (A → B) → (¬B → ¬A)     R.IV, g.


(Seguir leyendo)

Equivalencia material y disyunción exclusiva

Los símbolos '↔' y '↮' designan respectivamente la equivalencia material y la disyunción exclusiva.

Ambas son operaciones conmutativas, pues "ϕ ↔ ψ" equivale a "ψ ↔ ϕ" y "ϕ ↮ ψ" a "ψ ↮ ϕ".

Por otra parte, "ϕ ↔ ψ ↔ χ" equivale, a su vez, a "ϕ ↮ ψ ↮ χ". Si, como en el ejemplo, V(ϕ)=1 y V(ψ)=V(χ)=0:

"(1 ↔ 0) ↔ 0" equivale a "1 ↔ (0 ↔ 0)"; ambos son verdaderos porque lo son "0 ↔ 0" y "1 ↔ 1". Y al mismo tiempo

"(1 ↮ 0) ↮ 0" que equivale a "1 ↮ (0 ↮ 0)" es también verdadero porque "1 ↮ 0" lo es.

Funciones veritativas con dos variables

Este post es continuación de estotro. Las funciones de verdad compuestas de dos variables proposicionales son en total 16. Es decir, todas las posibilidades de combinar 'p' y 'q' en fórmulas como Cpq, Kpq, etc., son 16. Evidentemente las combinaciones posibles entre variables y conectivas son más, pero todas van a expresar sólo 16 funciones. Es decir que dos fórmulas equivalentes expresarán la misma función.

Usaré notación prefija* (es más ágil para escribir en el teclado) y escribiré a la derecha las valuaciones resultantes para los valores p:1100 y q:1010:

1. CpCqp: 1111
2. Apq: 1110
3. Cqp: 1101
4. Cpq: 1011
5. NKpq: 0111
6. CCpqp: 1100
7. Epq: 1001
8. ANpKqNp: 0011
9. NEpq: 0110
10. CCqpq: 1010
11. ANqKpNq: 0101
12. Kpq: 1000
13. KpNq: 0100
14. KNpq: 0010
15. NAp1: 0001
16. KKpNpq: 0000

________
* Nota:
Cpq equivale a 'p ⊃ q',
Apq a 'p ∨ q',
Np es '~p',
Kpq 'p·q',
Epq es 'p ≡ p'.

   La incompatibilidad:
Dpq equivale a 'p|q'

   Cuantificadores:
Πxφ  es   ∀xφ
Σxφ    es  ∃xφ

El condicional existenical que quedaba

Quedaba el tercer esquema existencial propuesto para mostrar su validez. Era el siguiente:

[∃(FG) v ∃(FH)] ⊃ ∃[F.(G v H)]

Aquí bastará simplemente con modificar el consecuente en virtud de la distributividad de la conjunción en la disyunción, resultando:

∃(FG v FH) ⊃ ∃(FG v FH)

que es válido.

Otro condicional válido y la distributividad de la disyunción en la conjunción

Ocupémonos un momento con este esquema*:

(i) [¬∃x(Fx ∧ Gx ∧ ¬Hx) ⊃ ∃x(Fx ∧ ¬Gx)].[¬∃x(Fx ∧ ¬Gx) v ¬∃x(Fx ∧ ¬Hx)] ⊃ [¬∃x(Fx ∧ ¬Gx ∧ Hx) ⊃ ∃x(Fx ∧ Gx ∧ ¬Hx)]

Si abreviamos sustrayendo la 'x' y representando la conjunción de letras de términos con la contigüidad de los mismos:

(ii) [¬∃(FG¬H) ⊃ ∃(F¬G)].[¬∃(F¬G) v ¬∃(F¬H)] ⊃ [¬∃(F¬GH) ⊃ ∃(FG¬H)]

Veamos si es o no válido.

Llamemos del siguiente modo sus partes:

p: ∃(FG¬H)
q: ∃(F¬G)
r: ∃(F¬H)
s: ∃(F¬GH)

Entonces tenemos:

(iii) (~p ⊃ q)·(~q v ~r) ⊃ (~s ⊃ p)

que como tiene la forma 'ϕ ⊃ ψ', se le pueda dar esta otra: '~ϕ v ψ'. Luego:

~[(~p ⊃ q)·(~q v ~r)] v (~s ⊃ p)

Otro tanto puede hacerse con la última parte:

~[(~p ⊃ q)·(~q v ~r)] v (s v p)

Convertimos la primer parte, es decir, la negación de una conjunción en una disyunción de negaciones (De Morgan) y a su vez trocamos '(~p ⊃ q)' por 'p v q':

~(p v q) v ~(~q v ~r) v s v p

que equivale a:

(~p.~q) v (q.r) v s v p

Nótese, teniendo en cuenta la asociatividad de la disyunción, que el último esquema equivale a:

[p v (~p.~q)] v (q.r) v s

Detengámonos en la primer parte: '[p v (~p.~q)]'. Considerando la ley de la distributividad de la disyunción en la conjunción, tenemos a partir de la misma:

(p v ~p) . (p v ~q)

Pero como 'p v ~p' es universalmente válido, y nos interesa la validez de (i), podemos prescindr de él, así que llegamos a:

(~q v p) v (q.r) v s

que desde luego equivale a:

(iv) (q.r) v ~q v p v s

Volviendo a tener en cuenta la última ley considerada, hacemos de '(q.r) v ~q', '(~q v q).(~q v r)', y eliminando por su validez '~q v q'; por lo tanto:

(v) p v ~q v r v s

Letras a las que podemos dar el significado inicial:


∃(FG¬H) v ¬∃(F¬G) v ∃(F¬H) v ∃(F¬GH)

Si fundimos los esquemas existenciales afirmativos obtenemos lo siguiente:

¬∃(F¬G) v ∃(FG¬H v F¬H v F¬GH)

Que se puede reformular como un condicional:

∃(F¬G) ⊃ ∃(FG¬H v F¬H v F¬GH)

Dado que un condicional existencial (como el precedente) es válido si y sólo si el esquema de término correspondientes a alguno de los existenciales del antecedente implica el esquema de término correspondiente al consecuente, tenemosque comprobr que 'F.~G' implica 'F.~H v F.~G.H v F.G.~H'. Como de ser falso en antecedente el esquema sería válido, nos interesa que ocurre en el caso en que sea verdadero:

⊤ . ⊤ ⊃ ⊤.~H v ⊤.⊤.H v ⊤.⊥.~H

Cuya validez se vé tan fácilmente como la de:

~H v H

_____
*Nota: Ya habíamos incluido el esquema en otro post. El mismo figura en Los métodos de la lógica de Willard V.O. Quine donde puede encontrarse una parte de la prueba aquí presente.

Condicional de esquemas existenciales

Teníamos que comprobar la validez del siguiente esquema (usaré la letra 'V' mayúscula para el cuantificador existencial -en vez de la E invertida habitual- y el signo '>' para el condicional -en lugar de la herradura-):


(i) ~V(G~H).V(FG) > V(FH)


Primero aplicamos 'p > q' = '~p v q'


~[~V(G~H).V(FG)] v V(FH)


Luego, De Morgan a la primera parte de la disyunción:


V(G~H) v ~V(FG) v V(FH)


Ahora, dado que el existencial afirmativo se distribuye en la disyunción:


V(G~H v FH) v ~V(FG)


Lo cual se puede volver a expresar en un condicional:


V(FG) > V(G~H v FH)


Dado que la validez de un esquema existencial tiene lugar si y sólo si la tiene su corresondiente esquema de término:


FG > G~H v FH


Así, como la falsedad del antecedente implica la validez del esquema, suponemos su verdad de modo tal que cancelando las letras 'G' y 'F' de las conjunciones del consecuente:


~H v H


Lo cual es manifiestmente válido.

Equivalencias

Viene de acá.

Partiendo de (ii) puede obtenerse:

(iii) ~∃x [fx · (y) ~gy]

y luego

(iv) ~∃x (fx · ~∃y gy)

y

(v) (x) ~(fx · ~∃y gy)

considerando la ley de De Morgan:

(vi) (x) (~fx ∨ ∃y gy)

o sea:

(i) (x) ∃y (~fx ∨ gy)

Incompatibilidad

La respuesta a la pregunta de este post se atribuye a Sheffer (de ahí la "barra de Sheffer"). Si usamos una notación similar a la propuesta por Lukasiewicz pero para la incompatibildad (o sea la fórmula en la cual no es el caso que p y q sean ambas verdaderas) escribiendo 'Iab' para '~ (a ∧ b)', entonces podemos definir:

(i) ~ p = Ipp

(ii) p ∧ q = IIpqIpq

Con esto ya podemos facilmente definir las conectivas restantes pues, por ejemplo:
"p ∨ q = ~ ( ~q ∧ ~ p)" y
"p → q = p ∨ ~ q";
pero usando la notación propuesta:

(iii) p ∨ q = IIppIqq

(iv) p → q = IIppq

Para definir la equivalencia esto parece un poco más engorroso:

(v) p ≡ q = IIIIppqIIqqpIIIppqIIqqp

Por si resultara más claro a la lectura volvemos a escribir las definiciones pero con "p|q" para Ipq; así:

(i') Ipp = p|p
(ii') IIpqIpq = (p|q)|(p|q)
(iii') IIppIqq = (p|p)|(q|q)
(iv') IIppq = (p|p)| q
(v') IIIIppqIIqqpIIIppqIIqqp = {[(p|p)|q] | [(q|q)|p]} | {[(p|p)|q] | (q|q)|p]}

El ejercicio con equivalencias materiales

(viene de este post, al que remito)

Según la definición de '≡':

p ≡ q equivale a (p ⊃ q)·(q ⊃ p)

Si V(p) = 0 (o sea, la valuación de 'p' es 0), entonces tenemos que:

(⊥ ⊃ q)·(q ⊃ ⊥)

Y como cualquier condicional material cuyo antecedente sea falso es verdadero:

⊤ · (q ⊃ ⊥)

Pero en una conjunción, su valor de verdad es verdadero sólo si cada una de las proposiciones es verdadera y falso en caso contrario, así que la conjunción de una ⊤ y cualquier proposición será valuada igual que esa otra proposición, de ahí que podamos reducir a:

(q ⊃ ⊥)

Ahora bien, en una implicación material, si el consecuente es falso, entonces ella misma será veradera si su antecedente también es falso o falsa en el otro caso. Es decir, tendrá un valor contradictorio a su antecedente, por lo tanto:

~ q

Así, entonces:

'⊥ ≡ q' equivale a '~ q'

En el caso en que 'p' en 'p ≡ q' sea verdadero:

(⊤ ⊃ q)·(q ⊃ ⊤)

Cualquier condicional material cuyo consecuente sea verdadero es verdadero, por lo tanto podemos eliminar '(q ⊃ ⊤)' de la conjunción. Por otra parte, una conjunción cuyo antecedente sea verdadero será verdadera o falsa según lo sea su consecuente. Por tanto:

'(⊤ ⊃ q)·(q ⊃ ⊤)' equivaldrá a 'q'

Haciendo las transformaciones correspondientes en las cuatro expresiones del ejercicio:

si V(p)=1

I (x) (Fx)
II (x) (Fx)
III ∃x (Fx)
IV ∃x (Fx)

Donde I y II equivalen entre sí y difieran ambos tanto de III y de IV, los cuales también difieren entre sí.

si V(p)=0

I (x) (~Fx)
II ~(x) (Fx)
III ∃x (~Fx)
IV ~∃x (Fx)

Donde I difiere de II y III de IV, con lo que se vé lo que pedía el ejercicio.

Fuente: Quine, Los métodos de la lógica.

Solución al ejercicio de lógica

(1) p ≡ p

(2) ~(∃x) (~xεγ · xεα · xεß) ≡ ~(∃x) (~xεγ · xεα · xεß)

(3) ~(∃x) (xεα · xεß · ~xεγ) ≡ (x) ~(~xεγ · xεα · xεß)

(4) ~(∃x) (xεαß · ─γ) ≡ (x) [~xεγ ⊃ ~(xεα · xεß)]

(5) La clase [(αß) X ─γ] es vacía ≡ Todo es miembro de la clase (─γ * ─αß)

(6) αß X ─γ = 0 ≡ ─γ * ─αß = 1

(7) αβ—γ = 0 ≡ —γ ⊂ —(αβ)

Una progresión geométrica

Teníamos que hallar esta suma. Lo primero será hacer de la suma una progresión geométrica equivalente.


Recuérdese que en una progresión tal cada término equivale al producto del anterior por un número, llamado razón o r. Por ende:

(i) a₂ = r·a₁, a₃ = r·a₂, ..., a_n = r·a_n-1


El último término, pues, equivaldrá al primero multiplicado por la razón tantas veces como términos haya (exceptuando el primer término, como es evidente). O sea:

(ii) a_n = r^n-1a₁


Ahora bien ¿dónde está la progresión geométrica en la suma: 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11...11?



Como

1 = (1/9)·9,

tanto como

11 = (1/9)·99,

etc., y por otra parte

9 = 10 - 1,
99 = 10² - 1,

etc., entonces,

1 = (1/9)·10 - 1
11 = (1/9)·10² - 1
111 = (1/9)·10³ - 1
11...111 = (1/9)·10ⁿ - 1


Por lo que la suma queda:


(1/9)·(10 + 10² + 10³ + 10ⁿ - n)

O sea:

(iii) (1/9)·(10-1 + 10² - 1 + 10³ - 1 + 10ⁿ - 1)

Es decir, una progresión geométrica donde

a_n = 10

y

r = 10

Lo que tenemos que hacer ahora es calcular:

S = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n

Sabiendo que se trata de una progresión geométrica, si multiplicamos por r cada miembro de la igualdad:


S·r = a₁·r + a₂·r + ... + a_n-1·r + a_n·r
= a₁ + a₂ + ... + a_n + a_nr




Nótese que la serie multiplicada por la razón no es otra cosa que la misma serie a la cual se le descuenta el primer término, pero se le agrega uno que sería el que siguiera de haber sido n mayor en una unidad, más concretamente, se agrega el producto del último término y la razón.


S·r = S - a₁ + a_nr


Aquí viene lo más interesante. Pasamos la S de la izquierda al otro lado de la igualdad:

















Ahora, si teniendo en cuenta (ii) reemplazamos a_n :
















Ahora volvemos a (iii) y sustituimos por (iv) la progresión geométrica que involucraba:





________
Bibl.

Fauring, P. y otros (1994) Problemas de las olimpiadas de matemáticas del cono sur. Red Olimpica, Bs. As.

Variables en lugar de clases

Variables en lugar de clases

Ya vimos cómo prescindir tranquilamente de los términos singulares en un lenguaje lógico traduciendo fórmulas que involucren la letra iota a otras que no lo hagan; es decir haciendo de los enunciados que incluían en sí descripciones como su sujeto o unos con cuantificadores. Ahora nos ocuparemos con los términos generales. Los términos generales son aquellos que resultan verdaderos de una clase de objetos y que suelen ser referidos mediante letras como ‘F’, ‘G’, ‘H’, etc. Pero también pueden usarse otras letras como α, β, γ, etc., para representar clases y la letra ϵ para simbolizar ‘es un miembro de’.

Ahora bien, podría el lector escéptico preguntar con qué utilidad extender el lenguaje formal si con él sólo pudiéramos venir a representar lo mismo respecto de lo que ya estábamos en condiciones de hacerlo con los solos conceptos de validez y consistencias cuantificacionales, es decir, prescindiendo de esta simbolización de las clases, cuya suposición parece contradecir tanto a la navaja de Occam como al obispo de Berkley de maneza asaz innecesaria.

Por otra parte, habíamos inquirido por un modo de definir el concepto quineano de ‘antepasado’ (es decir, incluyendo es su extensión el individuo de cuyos antepasados se trate) a partir del solo término de ‘progenitor’. Y además podemos introducir la pregunta por la posibilidad de prescindir del signo ‘=’ y de poder reformular aquellas sentencias donde el mismo aparezca conservando su valor lógico, tales como ‘x = y’.

Con respecto a este concepto quineano de ‘antepasado’, algo que resulta es que todos los progenitores de integrantes la clase de antepasados de ‘y’ son asimismo integrantes de dicha clase, además de que el mismo ‘y’ lo es. Dado que hay una clase que, incluyendo todos los antepasados de ‘y’, no contiene sino estos mismos antepasados, entonces para ser antepasado de ‘y’ basta con pertenecer a cualquier clase que incluya a ‘y’ y a todos los progenitores de todos sus miembros, es decir, a todas estas clases. De modo que:

‘x’ pertenece a toda clase que contenga a ‘y’ y a todos los progenitores de sus miembros;

Lo que equivale a:

∀α (y ϵ α ∧ todos los progenitores de miembros de α pertenecen a α ⊃ x ϵ α)

es decir:

∀α [y ϵ α ∧ ∀z∀w(w ϵ α ∧ Fzw ⊃ z ϵ α) ⊃ x ϵ α]

Con un criterio semejante, podemos decir que si ‘x’ e ‘y’ son indénticos, entonces pertenecen cada uno a toda clase que incluya al otro.

Así, sustituimos

x = y

Y

α = β

respectivamente por:

∀α (x ϵ α ↔ y ϵ α)

y

∀x (x ϵ α ↔ x ϵ β)

De manera general, dice Quine que un enunciado cualquiera puede ser analizado a partir de los conceptos de validez o consistencia en tanto en cuanto se trate de un enunciado cuyas variables de clase han de remitir todas a cuantificadores prenexos y, además, donde los cuantificadores bajo cuyo alcance caigan las variables de clase han de ser o todos universales o todos existenciales. Si no, no podrá serlo y sus variables de clase serán irreductibles a los mencionados conceptos.