Otro condicional válido y la distributividad de la disyunción en la conjunción

Ocupémonos un momento con este esquema*:

(i) [¬∃x(Fx ∧ Gx ∧ ¬Hx) ⊃ ∃x(Fx ∧ ¬Gx)].[¬∃x(Fx ∧ ¬Gx) v ¬∃x(Fx ∧ ¬Hx)] ⊃ [¬∃x(Fx ∧ ¬Gx ∧ Hx) ⊃ ∃x(Fx ∧ Gx ∧ ¬Hx)]

Si abreviamos sustrayendo la 'x' y representando la conjunción de letras de términos con la contigüidad de los mismos:

(ii) [¬∃(FG¬H) ⊃ ∃(F¬G)].[¬∃(F¬G) v ¬∃(F¬H)] ⊃ [¬∃(F¬GH) ⊃ ∃(FG¬H)]

Veamos si es o no válido.

Llamemos del siguiente modo sus partes:

p: ∃(FG¬H)
q: ∃(F¬G)
r: ∃(F¬H)
s: ∃(F¬GH)

Entonces tenemos:

(iii) (~p ⊃ q)·(~q v ~r) ⊃ (~s ⊃ p)

que como tiene la forma 'ϕ ⊃ ψ', se le pueda dar esta otra: '~ϕ v ψ'. Luego:

~[(~p ⊃ q)·(~q v ~r)] v (~s ⊃ p)

Otro tanto puede hacerse con la última parte:

~[(~p ⊃ q)·(~q v ~r)] v (s v p)

Convertimos la primer parte, es decir, la negación de una conjunción en una disyunción de negaciones (De Morgan) y a su vez trocamos '(~p ⊃ q)' por 'p v q':

~(p v q) v ~(~q v ~r) v s v p

que equivale a:

(~p.~q) v (q.r) v s v p

Nótese, teniendo en cuenta la asociatividad de la disyunción, que el último esquema equivale a:

[p v (~p.~q)] v (q.r) v s

Detengámonos en la primer parte: '[p v (~p.~q)]'. Considerando la ley de la distributividad de la disyunción en la conjunción, tenemos a partir de la misma:

(p v ~p) . (p v ~q)

Pero como 'p v ~p' es universalmente válido, y nos interesa la validez de (i), podemos prescindr de él, así que llegamos a:

(~q v p) v (q.r) v s

que desde luego equivale a:

(iv) (q.r) v ~q v p v s

Volviendo a tener en cuenta la última ley considerada, hacemos de '(q.r) v ~q', '(~q v q).(~q v r)', y eliminando por su validez '~q v q'; por lo tanto:

(v) p v ~q v r v s

Letras a las que podemos dar el significado inicial:


∃(FG¬H) v ¬∃(F¬G) v ∃(F¬H) v ∃(F¬GH)

Si fundimos los esquemas existenciales afirmativos obtenemos lo siguiente:

¬∃(F¬G) v ∃(FG¬H v F¬H v F¬GH)

Que se puede reformular como un condicional:

∃(F¬G) ⊃ ∃(FG¬H v F¬H v F¬GH)

Dado que un condicional existencial (como el precedente) es válido si y sólo si el esquema de término correspondientes a alguno de los existenciales del antecedente implica el esquema de término correspondiente al consecuente, tenemosque comprobr que 'F.~G' implica 'F.~H v F.~G.H v F.G.~H'. Como de ser falso en antecedente el esquema sería válido, nos interesa que ocurre en el caso en que sea verdadero:

⊤ . ⊤ ⊃ ⊤.~H v ⊤.⊤.H v ⊤.⊥.~H

Cuya validez se vé tan fácilmente como la de:

~H v H

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*Nota: Ya habíamos incluido el esquema en otro post. El mismo figura en Los métodos de la lógica de Willard V.O. Quine donde puede encontrarse una parte de la prueba aquí presente.