Pruebas de validez de esquemas disyuntivos

Vamos a poner en práctica el método que figura en este lugar y que es allí citado de Hilbert y Ackerman (1928). Hablar de tal forma, haciendo referencia a un praxis, no es en realidad más que una manera de decir, pues no se trata aquí de práctica ya que según las distinciones de la teoría del conocimiento kantiana, no es otra cosa que un uso especulativo de la razón, y ni si quiera técnico. Uso puro y especulativo de la facultad de conocer pues (y sin siquiera referir a objetos¹). ¿Pero uso analítico o sintético? Dejaré este último interrogante para otra oportunidad. Vayamos ahora a las fórmulas proposicionales que figuran al final del ya citado post y que son:


(i)     A → (S → A ∧ S)
(ii)    ¬¬¬A ∨ ¬¬(¬A ∨ ¬S ∨ ¬C)


Empecemos por (i), Lo primero que tenemos que hacer de llegar a una fórmula equivalente pero sin ∧ ni →. Entonces:

A → (S → ¬(¬A ∨ ¬S))
A → (¬S ∨ ¬(¬A ∨ ¬S))
¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬A ∨ ¬S))

Esta fórmula equivale a la aserción conjunta de

¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬A))

por un lado y de

¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬S))

Es decir de

¬A ∨ ¬S ∨ A

que es manifiestamente válida tanto como

¬A ∨ ¬S ∨ S

Luego (i) es válida.

Veamos ahora la otra

¬A ∨ ¬A ∨ ¬S ∨ ¬C

Esta fórmula no es deductible en el método en cuestión, por tanto no es válida.

Ahora el primer ejercicio:

(1)     ¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

Esta fórmula es deductible a partir de

*   ¬(¬A) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

y de

**  ¬(B) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

de * obtenemos:

A ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

que a su vez es deductible a partir de

***     A ∨ ¬(C) ∨ C ∨ B

y de

****    A ∨ ¬(A) ∨ C ∨ B

de acuerdo a la regla (b). Ambas, *** y **** son fórmulas elementales. Ahora resta por probar **, a partir de la cual obtenemos las dos a partir de las cuales es deductible:

#   ¬B ∨ ¬(C) ∨ C ∨ B

y

#  ¬(B) ∨ ¬(A) ∨ C ∨ B

Ambas son evidentemente válidas, luego (1) lo era, quod erad demonstrandum.

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1. Nota: Muy bien, Frege quizá expresaría su protesta ante esto. Lo que no parece, de todas formas, es que se trate de una mera cuestión de palabras (Cf. Frege Los fundamentos de la aritmética, § 89).