En siglos pasados se intentó dar una fundamentación lógica a la matemática (ejemplo de tal cosa son los «Grundlagen» de Frege y los «Principia» De Russell y Whitehead). Pero también puede intentarse dar una respuesta matemática a problemas de lógica (¿no fue eso lo que en realidad terminaron ellos por hacer? bueno, eso es otra cuestión...).
Leyendo en blogs dí con una "solución positiva" a la paradoja del mentiroso, paradoja respecto de la cual, por otra parte, yo ya había posteado acá. Se trata del blog "el topo lógico" y el link es este.
Resumiendo (el lector interesado deberá seguir el link) la propuesta es comparada allí mismo a la solución que los números imaginarios dan a ciertas ecuaciones. Y el valor de enfoques como este es que, al contrario de otros como el de Russell, no califica de sin-sentido las expresiones que generan las dificultades limitándose a arrojarlas al papelero de la historia.
Comunmente se denota la falsedad con el «0» y la verdad con el «1». Podemos pues definir:
x = V(p)
y = V(q)
Así, «x» equivale al valor de verdad de «p» e «y» al de «q».
Ahora veamos la ecuación que se propone. Para una frase «p» cualquiera, si «q» significa «p es falsa», luego:
y = 1 – x
Lo cual significa que el valor de verdad de «q» es equivalente a la unidad menos el valor de verdad de «x».
Yo diría que semanticamente sería dificil fundar esa ecuación (véase más adelante). Sin embargo, matemáticamente se cumple perfectamente que:
Si «p» es falsa, luego «x» vale «0». Así:
y = 1 – 0 = 1
y si «p» es verdadera, luego «x» vale «1». De este modo:
y = 1 – 1 = 0
En el caso concreto que nos ocupa tenemos que la "paradoja", que llamaremos «p» puede formularse así:
(p) «'p' es falsa»
por su parte, «q» es "«p» es falsa", luego (si, como dijimos "x = V(p)" y "y = V(q)"):
y = 1 - x
Pero como «p» y «q» afirman lo mismo, luego las valuaciones que hagamos de ellas deberán coincidir, entonces:
V(p) = V(q)
De este modo, si este valor es «z»:
z = 1 - z
Con lo que llegmos a:
z = 0,5
En este punto podemos mirar hacia atrás y reparar nuevamente en cómo se obtiene la ecuación: y = 1 – x
Habíamos visto dos casos: «p» es verdadero y «p» es falso. Pero luego del recorrido llegamos a este resulatado: no son los únicos dos casos posibles.
En efecto, la existencia de una proposición «p» cuyo valor mostró ser «0,5» nos lleva a rechazar el «tercero excluído» (como ocurre, por poner un ejemplo, con la lógica intuicionista).
Si «p» es nuestra proposición "ni verdadera ni falsa" de valor «x», luego (si «q» afirma que «p» es falsa; es decir, como arriba):
y = 1 - 0,5
Y como «y = x»:
0,5 = 1 - 0,5
Ahora consideremos la siguiente proposición «r»:
'p' es falsa
Podría tal vez pensarse que «r» es lo mismo que «p» (que decía también "'p' es falsa"), pero se diferncian, la menos, en que en «p» tiene lugar una autorreferencia que en «r» no.
Podemos reformular «r» así:
el valor veritativo de 'p' es igual a cero.
Como vimos, el valor veritativo de 'p' equivale a un medio, no a cero. Por ende, «r» no es verdadera. Si volvelmos a la fórmula ("y = 1 – x") llamando 'y' al valor de verdad de «r», luego:
y = 1 – 0,5 = 0,5
Esto parece conducir a lo siguiente:
La validez de la ecuación pareció surgir de que, aplicada a todos los casos, daba por resultado el valor correcto. Ahora tenemos una situación que no podíamos contemplar al principio, pues no contábamos con la posibilidad de una valor veritativo que no fuera ni 0 ni 1.
El resultado parece ser que no sólo las proposiciones autorreferentes reciben un valor distinto a 0 y 1 sino también algunas proposiciones que versen sobre proposiciones autorreferentes.
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