Lógica, funciones de verdad, adición, producto y sustracción

Cabría preguntarse cuál es el lugar de la lógica. En una primera consideración la respuesta parece simple: su lugar es el lenguaje. La lógica es siempre inherente a algún lenguaje, tanto sea artificial o no, se dirá. ¿Pero dónde? podría insistirse. Se ha dicho¹ que su lugar es entre los juicios, entre los conceptos, etc. Así dados el juicio p: "el gato está en la alfombra" y otro: "yo no sé que p"; yo puedo decir ambos dando lugar a una conjunción. En tal caso, la única constante lógica -a cierto nivel de análisis- sería y. Pero también puedo preguntarme por otros aspectos de una afirmación en la cual se asevera algo y luego que no sé respecto de eso. Y también puede preguntarse si ello cae dentro de lo que solemos llamar lógica.

Dado que omni deteminatio est negatio, debe escogerse el modo de proceder. Es usual usar p, q, etc. para referir a proposiciones cualesquiera y ciertos signos conectivos como por ejemplo la herradura: ⊃. Se llama esto lógica proposicional (o cálculo proposicional), dado que se representan lo que se considera son vínculos lógicos entre las proposiciones. Hay otros. La lógica de predicados de primer orden (o cálculo restringido de predicados), por ejemplo, se erige sobre la base de la lógica proposicional e introduce en las proposiciones la noción de predicado relativa a individuos determinados, indeterminados o cuantificados.

Centrémosnos, una vez más, en el cálculo proposicional, (ya he escrito en el blog, sobre el mismo tema, las mismas cuestiones). Las letras que representan variables proposicionales no representan proposiciones cualesquiera. O mejor dicho, sí lo hacen. Pero el aparato de la lógica sólo se ve concernido con cierto par de cualidades inherente a -según se cree- toda proposición, que son mutuamente excluyentes.

Consideremos las dos frases: "En cambio tú, como eres erudito², nunca dices lo mismo sobre los mismos temas" y "Sí, Hipias, y, lo que es más sorprendente todavía, no sólo digo las mismas cosas siempre, sino que sigo hablando de los mismos tópicos"³.

Facilmente se ve que no son la misma frase. Se diferencian, por ejemplo, en que una habla de la segunda persona, mientras que la otra de la primera. Claro que no es la única diferencia. Pero tienen cosas en común: ambas forman parte de un diálogo -el mismo- ambas remiten a otro fragmento de ese mismo diálogo, ambas son atribuidas a Sócrates, ambas son una (y la misma) respuesta a una pregunta, ambas son afirmaciones, etc.

Podríamos, si quisiéramos, representarlas con las letras A y B. Ahora bien, si escribimos, como los lógicos: A ∧ B, entonces estamos abstrayéndonos respecto de todo lo que diferencia o no a estas frases con la sola excepción de las mentadas dos cualidades: la vedad o la falsedad, que suelen ser representada mediante los números, naturales o no, 0 y 1.

Está claro que que simbolizando la respuesta socrática a Hipias citada "A ∧ B" no podremos saber si la misma es verdadera o falsa, e incluso se diría que hemos abstraído todo lo que en ella tenía valor como para que sea evocada. Este hecho a veces hace que se otorgue a la lógica un lugar marginal. Incluso para quienes un lenguaje abstracto y artificial es de suma importancia en sus actividades cotidianas, e intentan sirviéndose de él conocer algo acerca de la estructura de su referente, esto sigue siendo problemático. ¿Cómo estar seguros de si lo que se abstrayó incluye o no eso que nos permitiría tener la capacidad de discernir lo que, precisamente, era nuestra pretensión discernir? Tal asunto puede inducir a error tanto como lo hace el equivocar un signo al transcribir.

Sea como fuera, lo cierto es que la lógica abstrae las mencionadas cualidades y representa el conjunto de sus posibles combinaciones. Así, si consideramos todas las fórmulas lógicas de dos variables proposicionales (ya lo hicimos antes) tenemos 16 combinaciones. Ese número es el resultado de elevar el 2 a la 2 a la n. Es decir 2^(2^n), donde n es el número de variables proposicionales.

Es decir, se trata de 16 funciones binarias cuyo dominio es el producto cartesiano de ({0,1}⨯{0,1}) o {0,1}², a saber:

{0,1}² = {(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}

EL codominio de cada una de estas funciones es el conjunto {0,1}.

Las funciones de una sola variable proposicional tienen por dominio al conjunto {0,1} y por imagen a ese mismo conjunto. Dada la fórmula de dos a la dos a la ene, tenemos que en total son 4.

Podemos designarlas así:

f₁ = {(1,1), (0,1)}
f₂ = {(1,0), (0,0)}
f₃ = {(1,1), (0,0)}
f_ = {(1,0), (0,1)}

Una de estas cuatro funciones, la última, ha sido objeto de particular atención⁴. Es habitual que se la represente mediante los signos ¬ y ~, optaremos por ⨍_ (en lugar de ⨍₄). Con esta función y una más (pero ésta de entre las 16 binarias) se pueden representar las 16. No es una única, podemos elegir entre algunas de ellas. Por ejemplo la conjunción, a saber:

f. = {((1,1),1), ((1,0),0), ((0,1),0), ((0,0),0)}

Esta función asigna el elemento 0 a todo elemento del dominio, con la sola excepción del par (1,1).

Para obtener la función conocida como condicional o implicación material tenemos que escribir, para las proposiciones x e y (x ⊃ y):

f_(f.(x,f_(y)))

Pero ¿Cómo expresar estas dos funciones con dos de las operaciones habituales de la aritmética, la adición y el producto?

Algún tiempo atrás, había escrito sobre un post del blog eltopologico que para intentar dar cabida en un lenguaje simbólico a la paradoja de Epiménides había sentado las bases de un sistema lógico donde intervenía la resta. El caso presente difiere, pues no se pretende ahora formalizar así una proposición (paradójica o no) sino lo que ocurre entre ellas, las conectivas lógicas.

La conjunción suele llamarse, también, producto lógico, y su nombre conduce a una expresión algebraica que permite operar con ella:

f.(x,y) = x·y

Así:

f.(1,1) = 1·1 = 1
f.(1,0) = 1·0 = 0
f.(0,1) = 0·1 = 0
f.(0,0) = 0·0 = 0

También podemos representar la negación, del siguiente modo:

f_(x) = 1 − x

De modo tal que:

f_(1) = 1 − 1 = 0
f_(0) = 1 − 0 = 1

Tal era la forma que en el post citado en primer término se usaba para la negación, justamente.

Con esto, ya podemos expresar todas las fórmulas binarias de la lógica proposicional. Por ejemplo, el bicondicional (o equivalencia material), a saber: «p ↔ q».

Tenemos en cuenta a su vez esta equivalencia:

p ↔ q  ≡  (p → q) ∧ (q → p)

Pero es preciso también encontrar una expresión para la flechita, el condicional. Una de las formas (pues no la única) de dar con ella es sirviéndonos de la siguiente fórmula:

f→(x,y) = 1 − x + xy

Lo cual surge de la equivalencia entre «p → q» y «¬(p ∧ ¬q)», tal como vimos arriba. El bicondicional será entonces:

(1 − x + xy)·(1 − y + xy)

O sea:

(1 − x + xy) − y(1 − x + xy) + xy(1 − x + xy)

Es decir:

(1 − x + xy) − (y − xy + xy²) + (xy − x²y + x²y²)

Por ende:

1 − x − y + 3xy − xy² − x²y + x²y²

Pero como es fácil demostrar, en general, que:

    ∀x : x ∊ {0,1}   ⇒   x² = x

Y los argumentos posibles para la función son el 0 y el 1 y ninguno otro (cierta practicidad inherente a una lógica que excluye al tercero), podemos simplificar la fórmula de la equivalencia material:

1 − x − y + 3xy − xy − xy + xy

y así obtener:

f↔(x,y) = 1 − x − y + 2xy


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Notas:
1. Hilbert-Ackerman(1928)
2. πολυμαθής
3. Jenofonte, Recuerdos de Sócrates, Libro IV.
4. Las funciones ⨍₁ y ⨍₂ también. Se las suele llamar, respectivamente, tautología y contradicción.