Demostración en una lógica de 'ecuaciones'

Anteriormente se mostró una manera representar las fórmulas veritativas de la lógica proposicional. Vimos entonces que podíamos escribir:

    f_(x) = 1 − x

para la negación,

    f.(x,y) = x·y

para la conjunción,

    f→(x,y) = 1 − x + xy

para el condicional y

    f↔(x,y) = 1 − x − y + 2xy

para el bicondicional.

Para representar una disyunción escribiremos:

    fₒ(x,y) = 1 − ((1 − x)(1 − y))

Esto se justifica así: tendremos en cuanta la ley de De Morgan, a saber, «p ∨ q ≡ ¬(p̄ ∧ q̄)». Luego, si 'p' y 'q' son 'x' e 'y' respectivamente obtenemos la fórmula mencionada.




Podemos ahora hacer uso de un método 'algebraico'. Demostremos primero que "A si y sólo si A":

Como p ↔ p se representa como "1 − x − y + 2xy" (ver prueba), luego tenemos que demostrar:

 1 − x − y + 2xy = 1

ya que 1 es el único valor de verdad de toda fórmula válida, y queremos saber si tal fórmula lo es. Como p y p son la misma variable, luego x = y. Así:

1 − x − x + 2xx =
1 − 2x + 2x² =

Aplicando ∀x x²= x (ver post anterior):

1 − 2x + 2x = 1

Así, la fórmula inicial es válida.

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