La implicación y la validez del condicional

He aquí un par de ejercicios más de lógica proposicional, que pueden ser oportunos para continuar poniendo en práctica el método de Hilbret y Ackerman (1928). Ellos son:


((¬q ∨ p) → (t ∧ ¬m)) ∧ ¬ q

∴   ¬m ∧ ¬q

y


r ∧ ¬s → q ∨ m,

t ∧ ¬p ¬ ¬(q ∨ m),

r ∧ ¬s ∨ t ∧ ¬p,

∴   (q ∨ m) ∨ ¬(q ∨ m)

Considerando aquello de que "la implicación es la validez del condicional" veremos cómo se prueban los condicionales cuyos antecedentes estén formados por las conjunciones de las premisas (en caso de que haya más de una) y el consecuente por la conclusión.

Adoptaré, por comodidad, la siguiente notación. Para representar las variables proposicionales usaré letras como p, q, r, s, etc. Del modo habitual serán usados los signos →, ∨ y los paréntesis. Para la conjunción usaré ∧, pero en el caso en que dos letras proposionales, ej. p y q, formen una conjunción, podrán escribirse, en lugar de «p ∧ q», directamente así: «pq». En cuanto a la negación, usaré el signo ¬. Pero para indicar la negación de una proposición sola en lugar de servirme de ese símbolo colocaré sobre ella una barra horizontal. Así, en lugar de ¬p escribiré p̄. Tendré en cuenta las equivalencias «¬p̄ ≡ p», «¬¬p̄ ≡ p̄», la conmutatividad de ∨ y ∧, etc.


Veamos el primero:

((q̄∨p) → (tm̄)) ∧ q̄ 
∴   m̄q̄

Como se dijo, debemos verificar:

(a)     ((q̄∨p) → (tm̄)) ∧ q̄  →  m̄q̄

Para emplear el método mencionado debemos expresar el esquema en una forma equivalnte con sólo las letras proposicionales, la negación y la disyunción. Vamos por pasos comenzando por las conectivas de menor alcance. Apliquemos primero las leyes de De Morgan:

((q̄∨p) → ¬(t̄∨m)) ∧ q̄  →  ¬(m∨q)

Covertimos un condicional:

(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∧ q̄  →  ¬(m∨q)



Ahora nuevamente De Morgan:

¬(¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q)  →  ¬(m∨q)

Ahora el otro condicional:

¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q  ∨ ¬(m∨q)

Dado que:

¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q ∨ q̄

es válido, nos queda examinar:

*   ¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q  ∨ m̄

Primero: "¬(¬(q̄∨p)) ∨ q ∨ m̄"

q̄ ∨ p ∨ q  ∨ m̄

Es fórmula elemental (y por tanto válido). Ahora:
"¬(¬(t̄∨m)) ∨ q  ∨ m̄"

O sea:

t̄ ∨ m ∨ q  ∨ m̄

Que también lo es. Por lo tanto (a) es válido.


El otro:

rs̄ → q ∨ m
tp̄ → ¬(q ∨ m)
rs̄ ∨ tp̄
∴   (q ∨ m) ∨ ¬(q ∨ m)


(b) (rs̄ → q∨m) ∧ (tp̄ → ¬(q∨m)) ∧ (rs̄ ∨ tp̄) → (q ∨ m ∨¬(q∨m))


(¬(r̄∨s) → q∨m) ∧ (¬(t̄∨p) → ¬(q∨m)) ∧ (¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p))) → (q ∨ m ∨ ¬(q∨m))

((r̄∨s ∨ q∨m) ∧ (t̄∨p ∨ ¬(q∨m)) ∧ (¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p))) → (q ∨ m ∨ ¬(q∨m))

¬(¬(r̄∨s ∨ q∨m) ∨ ¬(t̄∨p ∨ ¬(q∨m)) ∨ ¬(¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p))) → (q ∨ m ∨ ¬(q∨m))

¬(r̄∨s ∨ q∨m) ∨ ¬(t̄∨p ∨ ¬(q∨m)) ∨ ¬(¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p)) ∨ q ∨ m ∨ ¬(q∨m)


Este esquema es válido ya que «q ∨ m ∨ ¬(q ∨ m)» lo es.
De todas formas, podríamos haber especulado de este modo: dado que cualquier condicional suyo consecuente es válido, lo es también él mismo; y como el consecuente de (b) es verdadero bajo toda interpretación de sus variables, luego (b) es una tautología, con lo que resolvíamos el ejercicio de un modo más breve.