Teoría de los tipos, sintaxis y semántica: discusión.

En la lógica proposicional, a la que se refieren algunos de los posts recientes de este blog, las letras tienen una interpretación tal que pueden ser tomadas como señalando lo verdadero o lo falso −al menos respecto de algo que sea, también verdadero o falso− pero a ninguna otra cosa. Semejante estado de cosas puede a muchos parecer algo insatisfactorio. Además, podrían plantearse cierta clase de inconvenientes. ¿Qué decir de lo uno o lo otro si, conformando ellos mismos las posibles interpretaciones que podemos dar a nuestras fórmulas, están siempre por ello presupuestos? Decir: la verdad es todo aquello cuya única interpretación posible es lo verdadero incluso respecto de lo que no lo es; es decir, lo que por más que sus partes se interpreten como denotando lo falso, en cualquier caso el conjunto lo hará a lo verdadero ¿no resulta acaso una proposición extremadamente vacía? Pero ¿quién dudaría de su verdad? El problema es que las verdades de la lógica proposicional tienen todas una forma similar. Ellas presuponen lo verdadero siempre como un valor posible de sus partes, y luego llegar a la verdad en fórmulas de otro tipo como el hecho de que ellas siempre arrojen como valor ese mismo que ya era posible. Por algo, la verdad lógica es la tautología, cuya etimología, ταυτολογία, es «decir lo mismo».

El lenguaje de esta lógica tiene dos clases de signos: las letras y las conectivas. Una letra es, al menos según cierto punto de vista, algo que sirve para designar una cierta entidad que llamamos proposición o enunciado. Podemos pensar que existen enunciados concretos y que, como tales, deben ser ya sea verdaderos, ya sea falsos, y ponerle nombres. En ese caso E₁, (por poner un ejemplo) sería uno de ellos. Según una idea arraigada en nuestra cultura, todos los enunciados se agrupan en dos clases mutuamente excluyentes: los verdaderos y los falsos.

A la lógica proposicional sólo le importa eso, y las letras p, q, etc., en tanto variables serán interpretadas como lo verdadero o lo falso, dependiendo el caso, así como de E₁ sólo importará que es verdadero (lo cual es el caso, al menos siempre que no sea falso). Dándole a los elementos del conjunto de lo verdadero y lo falso el nombre de valores veritativos, truth value (en inglés) podemos decir que el tipo de las entidades referidas por las constantes E₁, E₂, etc., y las variables p, q, etc. son siempre elementos de ese conjunto, difiriendo en que E₁ designa unívocamente a una proposición (y por ende también unívocamente a un valor veritativo) y p lo hace pero sin definir a cual. Podemos decir entonces que son éstas expresiones del tipo t.

En cuanto a las conectivas, la situación es diferente. Consideremos la más simple, la conectiva unaria usualmente representada por ¬ o por ~ (análogamente podría procederse respecto de la doble negación, que es otra conectiva unaria). ¿Señala también un enunciado o es de otro tipo que el anteriormente mencionado? Evidentemente, no podemos interpretarla de la misma manera que a las letras. No pertenece al tipo t. Es una expresión que aplicada a otra expresión −ésta sí de tipo t− da lugar a otra expresión, ésta última de tipo t. Es decir, es una función que mapea elementos t sobre elementos t.

Las conectivas binarias son también funciones pero, nuevamente, de otro tipo. Ellas asignan a cada letra una expresión del tipo anterior, es decir, una expresión que aplicada a una letra da como resultado otra que es de tipo t y que, por tanto, podemos interpretar como verdadera o falsa. Con conectivas de mayor número de variables se procede de modo similar.

Pero ocurre que estas interpretaciones pueden resultar a muchos un tanto insuficientes. Sobre todo si tenemos en cuenta que la experiencia más simple nos coloca frente a símbolos cuya interpretación no pertenece ni al conjunto de valores de verdad ni al de las funciones de valores de verdad sobre valores de verdad, ni a las funciones de valores de verdad sobre funciones de valores de verdad, etc.

No. Sabemos, en efecto, que Sócrates era un mortal, y esto, tomado como tal, es símbolo de los verdadero, si se quiere. Pero ¿si pensamos en las partes de éste símbolo? ¿Qué clase de expresión es “Sócrates”? ¿Y “mortal”?

Es bien sabido que la lógica ha desarrollado, luego de lo que se supone habitualmente son miles de años de estancamiento, en el siglo XIX, un lenguaje, una escritura (llamado primero Begriffschrift) que traduce simbolos como esos. Se llaman, respectivamente, constante de individuo y constante de predicado.

Ya vimos, en otro post, que las solas funciones ¬ y ∧ basta para todas las interpretaciones que admite una semántica como la presentada aquí en primer término. Por ejemplo, para definir la que arroja el valor 0 para argumentos ordenados tales que el primero es 1 y el otro no, y el valor 1 para el resto; siendo f_(p) = ¬p y f.(p,q) = p ∧ q, luego basta con escribir:

f_(f.(p,f.(q)))

Ya sabemos como interpretar eso: es una función que, aplicada a p da lugar a otra función que, aplicada a q da lugar, finalmente, a una expresión de tipo t. Basándonos en esto, pues, podemos considerar α, β y γ como expresiones diferentes; α como una de tipo t, β como una del tipo tal que, aplicado a una del tipo t da lugar a otra de tipo t y γ como una del tipo que aplicado a una expresión del tipo como el de β (es decir, que aplicado a t devuelve otra de tipo t) da lugar a una del tipo t¹. Entonces esa fórmula puede también escribirse de esta manera:

γ(β(α))

Y con las fórmulas de mayor número de variables proposicionales podemos proceder de modo similar. De todas formas, habíamos mencionado expresiones como Sócrates y mortal; y es algo evidente que ellos, o mejor dicho, aquello que nos permitiría interpretarlos, no tienen cabida en el ser de Parménides (y tampoco en su no ser). Necesitamos entonces de lo que solemos llamar un mundo, incluso un universo. Se dirá que el ser del filósofo de Elea es un concepto de mundo. Muy bien, pero no puede resultar satisfactorio desde este punto de vista, ni tampoco al de cualquier hablante habitual. Este nuevo mundo está compuesto de elementos: todos los individuos son parte de él. Veremos cómo podrían interpretarse, en base a ese mundo, los signos en cuestión, pero sin entrar, al menos por el momento, en los problemas a que la razón pura puede desembocar en torno a una justificación de este concepto de lo indivisible, como señaláramos en otro post siguiendo el comentario de Kant.

Entones, dados los individuos, las constantes de individuo se interpretan, cada una, como referida a un único elemento indivisible del mundo. No necesitamos, cosa que sí ocurre en el lenguaje conversacional, de más de un nombre para cada uno de ellos. (En realidad, según vimos antes, es posible prescindir de esta noción de 'nombre lógico', pero no insistiremos en ello por el momento). Estas constantes, por denotar tales entidades elementales, son expresiones de tipo e. También lo son, lógicamente, las variables de individuo.

¿Qué decir de la mortalidad? Pues que ella es, según la presente interpretación, una función que mapea para cada elemento de D, nuestro dominio de individuos, un valor del conjunto {0,1}, donde se incluyen nuestras interpretaciones relativas al ser y al no ser de Parménides: f : D → {0,1}. Todas estas expresiones que, aplicadas a otras de tipo e conforman una de tipo t (que suelen llamarse predicados de primer orden) forman parte del conjunto de todas las funciones f : D → {0,1}, que equivale al conjunto potencia POT(D)².

Existen otras expresiones que una teoría de los tipos permitiría construir y que no una lógica de predicados de primer orden (como los predicados de segundo orden o superior) o una de segundo orden (como determinados adjetivos y adverbios). Pero dada la extensión de este post, lo dejaremos para otra oportunidad.

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1. Por si resulta más claro, digamos que si el tipo 〈a,b〉‪ es el de una expresión que aplicada a una de tipo a conforma una de tipo b, luego: α ∊ t, β ∊ 〈t,t〉 y γ ∊ 〈t,〈t,t 〉〉

2. Una expresión así es de la forma 〈e,t〉.