Pruebas de validez con ecuaciones

Siguiendo con esta serie de posts, probaremos algunas fórmulas más, que el lector podrá encontrar aca.

                        ⊢ X ∨ ¬X

Esto se representa así (partiendo de «¬(¬X ∧ X)»:

1 − (1 − x)x =
1 − (x − x²) =
1 − (x − x)  = 1

Así, A ∨ ¬A es válida. También puede usarse el método para demostrar contradicciónes. Por ejemplo, traduzcamos

                   ⊢ X ∧ ¬X:

x(1 − x) =
x − x = 0

Luego "A ∧ ¬A" es siempre falso.

Ahora consideremos:

                   ⊢ X → ((X → Y) → Y))

A → ((1 − x + xy) → B)) =

A → [1 − (1 − x + xy) + (1 − x + xy)y] =

1 − x + x[1 − (1 − x + xy) + (1 − x + xy)y] =

1 − x + x(1 − 1 + x − xy + y − xy + xyy) =

1 − x + x(x + y − xy) =

1 − x + x + xy − xy = 1

con lo cual es válida.

Ahora:
                    ⊢ X ∧ (X → Y) → Y

x(1 − x + xy) → Y

1 − [x(1 − x + xy)] + [x(1 − x + xy)]y

1 − (x − x + xy) + (x − x + xy)y

1 − (x − x + xy) + xy

1 − x + x − xy + xy = 1

con lo que se prueba que es una tautlología.

Ahora mostraremos otro ejemplo más y dejaremos el resto para el lector:

                    ⊢ (X → Y) → (¬Y → ¬X)

(1 − x + xy) → [1 − (1 − y) + (1 − y)(1 − x)]

(1 − x + xy) → (1 − 1 + y + 1 − y − x + xy)

(1 − x + xy) → (1 − x + xy)

Analizamos el condiciona que queda:

1 − (1 − x + xy) + (1 − x + xy)(1 − x + xy)

1 − 1 + x − xy + 1 − x + xy − x + x − xy + xy − xy + xy = 1

Llegamos así a que es siempre verdadera independientemente de los valores que tomen sus argumentos.