Algunas demostraciones más sin el tercero excluído

Ya habíamos hecho, de éstas que había escritas, las primeras cuatro. Seguiremos ahora con las cuatro siguientes (nota: las reglas y las relaciones de demostrabilidad -a las que se remite, en la columna derecha, respectivamente, mediante RD. y R, y que son las que fundamentan cada uno de los pasos- pueden encontrarse en el primero de los citados, el lema L.I figura en el segundo).
 

Teorema v)        ⊢ (A → B) → ((B → C) → (A → C))

a)  A, A → B ⊢ B                                RD.6
b)  B, B → C ⊢ C                                RD.6
c)  B ⊢ (B → C) → C                           R.IV, b.
d)  A, A → B ⊢ (B → C) → C                R.II, a, c.
e)  A, A → B, B → C ⊢ C                     L.I, d.
f)  A → B, B → C, A ⊢ C                      R.I, e.
g)  A → B, B → C ⊢ A → C                   R.IV, f.
h)  A → B ⊢ (B → C) → (A → C)           R.IV, g.
i)  ⊢ (A → B) → ((B → C) → (A → C))   R.IV, g.


Teorema vi)     ⊢ ¬¬¬A → ¬A

a)  A, ¬A ⊢ ¬A                      RD.1
b)  ¬A, A ⊢ A                        RD.1
c)  A, ¬A ⊢ A                        R.I, b.
d)  A ⊢ ¬¬A                          R.V, a, c.
e)  A, ¬¬¬A ⊢ ¬¬A              L.I, d.
f)  ¬¬¬A, A ⊢ ¬¬A               R.I, e.
g)  A, ¬¬¬A ⊢ ¬¬¬A            RD.1
h)  ¬¬¬A, A ⊢ ¬¬¬A            R.I, g.
i)  ¬¬¬A ⊢ ¬A                       R.V, f, h.
j)  ⊢ ¬¬¬A → ¬A                   R.IV, i.


Teorema vii)    ⊢ ¬A → ¬¬¬A

a)  ¬A, ¬¬A ⊢ ¬¬A                  RD.1
b)  ¬¬A, ¬A ⊢ ¬A                    RD.1
c)  ¬A, ¬¬A ⊢ ¬A                    R.I, b.
d)  ¬A ⊢ ¬¬¬A                        R.V, a, c.
e)  ⊢ ¬A → ¬¬¬A                     R.IV, d.


Teorema viii)   ⊢ ¬A → ¬(A ∧ B)

a)  A ∧ B ⊢ A                            RD.3
b)  A ∧ B, ¬A ⊢ A                     L.1
c)  ¬A, A ∧ B ⊢ A                     R.I, b.
d)  A ∧ B, ¬A ⊢ ¬A                  RD.1
e)  ¬A, A ∧ B ⊢ ¬A                   R.I, d.
f)  ¬A ⊢ ¬(A ∧ B)                     R.V, c, e.