Incompatibilidad

La respuesta a la pregunta de este post se atribuye a Sheffer (de ahí la "barra de Sheffer"). Si usamos una notación similar a la propuesta por Lukasiewicz pero para la incompatibildad (o sea la fórmula en la cual no es el caso que p y q sean ambas verdaderas) escribiendo 'Iab' para '~ (a ∧ b)', entonces podemos definir:

(i) ~ p = Ipp

(ii) p ∧ q = IIpqIpq

Con esto ya podemos facilmente definir las conectivas restantes pues, por ejemplo:
"p ∨ q = ~ ( ~q ∧ ~ p)" y
"p → q = p ∨ ~ q";
pero usando la notación propuesta:

(iii) p ∨ q = IIppIqq

(iv) p → q = IIppq

Para definir la equivalencia esto parece un poco más engorroso:

(v) p ≡ q = IIIIppqIIqqpIIIppqIIqqp

Por si resultara más claro a la lectura volvemos a escribir las definiciones pero con "p|q" para Ipq; así:

(i') Ipp = p|p
(ii') IIpqIpq = (p|q)|(p|q)
(iii') IIppIqq = (p|p)|(q|q)
(iv') IIppq = (p|p)| q
(v') IIIIppqIIqqpIIIppqIIqqp = {[(p|p)|q] | [(q|q)|p]} | {[(p|p)|q] | (q|q)|p]}