Validez de esquemas

Pueden llamarse enunciados de participación en una clase aquellos que resulten del uso de oraciones de la forma 'x pertenece a la clase F', o 'x ϵ F' o también 'Fx'. La letra 'F' es allí una expresión de clase. Pueden usarse las conectivas habituales para los enunciado de participación en una clase. Así, por ejemplo: 'Fx v Gx' significa que x pertenece a la clase F o a la clase G. Puede prescindirse de escribir en dichas fórmulas la variable cuando se haga uso de una sola. Nos quedaría algo como 'F v G', que Quine denomina esquemas booleanos de términos.

Si se incorporan cuantificadores existenciales a estas fórmulas de clase se obtienen fórmulas existenciales. Por ejemplo, para respresentar el enunciado "no existen unicornios azules", podemos escribir algo como:


(1) ¬∃(UA)


En (1) se prescinde del punto para representar la conjunción, pues puede adoptarse la convención de presindir de ellos en casos donde dos o más letras de téminos formen una conjunción en una fórmula de clase (aunque, como en este caso, formen parte de una fórmula existencial). También podría escribirse su equivalente:



(2) UA = 0



Donde se afirma que la clase de los unicornios azules no tiene elemento alguno. El enunciado según el cual la clase 'UxA' es no vacía puede expresarse de las siguientes formas:



∃(UA)



UA ≠ 0



Se pueden construir enuciados con estas fórmulas existenciales (los que Quine llama esquemas booleanos enunciativos). Por ejemplo:




¬∃(U) ⊃ ¬∃(UA)



¬∃(U).∃(A) ⊃ ∃(A¬U)



Los esquemas precedentes son válidos, lo cual se ve a simple vista dado que en un caso si no hay unicornios, tampoco habrá unicornios zules; y en el otro, si no hay unicornios pero hay (cosas) azules, enctonces hay azules no unicornios.



A veces no es tan facil observar la validez de un esquema. Veamos tres ejemplos de Quine:



(i) ¬∃(G¬H).∃(FG) ⊃ ∃(FH)


(ii) [¬∃(FG¬H) ⊃ ∃(F¬G)].[¬∃(F¬G) v ¬∃(F¬H)] ⊃ [¬∃(F¬GH) ⊃ ∃(FG¬H)]


(iii) [∃(FG) v ∃(FH)] ⊃ ∃[F.(G v H)]



¿Cómo mostrar la validez de estos tres esquemas? Sugerencia, convertir los esquemas para que dicha validez surja a la vista.