Una progresión geométrica

Teníamos que hallar esta suma. Lo primero será hacer de la suma una progresión geométrica equivalente.


Recuérdese que en una progresión tal cada término equivale al producto del anterior por un número, llamado razón o r. Por ende:

(i) a₂ = r·a₁, a₃ = r·a₂, ..., a_n = r·a_n-1


El último término, pues, equivaldrá al primero multiplicado por la razón tantas veces como términos haya (exceptuando el primer término, como es evidente). O sea:

(ii) a_n = r^n-1a₁


Ahora bien ¿dónde está la progresión geométrica en la suma: 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11...11?



Como

1 = (1/9)·9,

tanto como

11 = (1/9)·99,

etc., y por otra parte

9 = 10 - 1,
99 = 10² - 1,

etc., entonces,

1 = (1/9)·10 - 1
11 = (1/9)·10² - 1
111 = (1/9)·10³ - 1
11...111 = (1/9)·10ⁿ - 1


Por lo que la suma queda:


(1/9)·(10 + 10² + 10³ + 10ⁿ - n)

O sea:

(iii) (1/9)·(10-1 + 10² - 1 + 10³ - 1 + 10ⁿ - 1)

Es decir, una progresión geométrica donde

a_n = 10

y

r = 10

Lo que tenemos que hacer ahora es calcular:

S = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n

Sabiendo que se trata de una progresión geométrica, si multiplicamos por r cada miembro de la igualdad:


S·r = a₁·r + a₂·r + ... + a_n-1·r + a_n·r
= a₁ + a₂ + ... + a_n + a_nr




Nótese que la serie multiplicada por la razón no es otra cosa que la misma serie a la cual se le descuenta el primer término, pero se le agrega uno que sería el que siguiera de haber sido n mayor en una unidad, más concretamente, se agrega el producto del último término y la razón.


S·r = S - a₁ + a_nr


Aquí viene lo más interesante. Pasamos la S de la izquierda al otro lado de la igualdad:

















Ahora, si teniendo en cuenta (ii) reemplazamos a_n :
















Ahora volvemos a (iii) y sustituimos por (iv) la progresión geométrica que involucraba:





________
Bibl.

Fauring, P. y otros (1994) Problemas de las olimpiadas de matemáticas del cono sur. Red Olimpica, Bs. As.