La solución al primero de los ejercicios de este post, el cual consistía en demostrar que p ⊃ p, o sea la reflexividad de la implicación material, puede hallarse en este lugar (otra prueba pero basada en otros fundamentos, acá). Así que veamos en esta ocasión el que le sigue, que requería de la prueba del ex falso sequitur quodlibet (EFSQ), es decir de:
~p ⊃. p ⊃ q
Con esta ley ocurre que en caso de tener demostrada alguna fórmula y también su negación podría demostrarse cualquiera, de modo que ofrece importantes motivos para excluír toda contradicción del sistema, a fin de no volverlo superfluo. Dado que la demostración de una fórmula y su negación es en sí una contradicción, y que la contradicción es una fórmula necesariamente falsa, se entiende su nombre, que de lo falso se sigue cualquier cosa Veamos una prueba:
1 [~q → ~p →.p → q] → [~p → [~q → ~p →.p → q]]
Axioma I, Sust.
2 ~p → [~q → ~p →.p → q] → [[~p →. ~q → ~p] → [~p →.p → q]]
Axioma II, Sust.
3 ~q → ~p →.p → q
Axioma III, Sust.
4 ~p → [~q → ~p →.p → q]
modus ponens, 1 y 3.
5 [~p →. ~q → ~p] → [~p →.p → q]
modus ponens, 2 y 4.
6 ~p →. ~q → ~p
Axioma I, Sust.
7 ~p →.p → q
modus ponens, 5 y 6.
Así como esta última fórmula, se puede probar desde luego otra versión del mismo principio en el cual se permutan las hipótesis, es decir de p →. ~p → q. Veamos.
1 p → ~~p
doble negación¹
2 ~~p →. ~p → q
EFSQ (infra)
3 [p → ~~p] → [~~p →. ~p → q → [p →. ~p → q]]
ley de transitividad de →
4 ~~p →. ~p → q → [p →. ~p → q]
modus ponens, 1 y 3.
5 p →. ~p → q
modus ponens, 2 y 4.
______
1. El lector habrá notado que no figura en este post una prueba de esta ley de doble negación, ni se linkea una en él. Sin embargo, tal prueba puede ofrecerse, puede quedar para el interesado.
viernes, 1 de marzo de 2013
lunes, 25 de febrero de 2013
La transitividad como regla
El teorema p → q → [q → r →. p → r] una de cuyas pruebas figura acá, permite deducir una implicación en base a otros dos teoremas siempre que el antecedente de uno sea el consecuente del otro. Si esto último ocurre entonces podrá demostrarse la implicación del antecedente del segundo al consecuente del primero. Es decir, si ⊢ p → q y ⊢ q → r, entonces ⊢ p → r (si pueden demostrarse p → q y q → r, también puede demostrarse, entonces, p → r). Y la razón por la que esto ocurre así hay que buscarla, lógicamente, en la reflexividad de la implicación material¹.
En la lógica proposicional puede probarse una regla de transitividad. Sean A, B y C proposiciones bien formadas arbitrariamente escogidas, que incluyan cualquier número de variables, de conectivas y paréntesis; con la condición de que existan pruebas tanto para A → B como para B → C. Es decir, A implica B y B implica C. Ahora sustituímos en la ley de transitividad p/A, q/B y r/C, nos queda:
A → B → [B → C →. A → C]
Pero como convenimos en escoger A y B de modo tal que sabemos que A → B, luego, por modus ponens, tenemos:
B → C →. A → C
Nuevamente, como habíamos convenido en que B → C era una proposición necesariamente verdadera, luego:
A → C
Así, de ⊢ A → B y ⊢ B → C se sigue ⊢ A → C
____________
1. Ocurre de una manera similar a cuando decimos que un silogismo categórico compuesto de tres proposiciones universales afirmativas es válido. Este "modo" de silogismo, es decir, uno compuesto con tres proposiciones universales afirmativas, se ha dado en llamar BARBARA. ¿Por qué? Sencillamente, porque la proposición universal afirmativa, es decir una que predique algo de la totalidad de lo que pone como sujeto del asreto, se llama A. Como las tres llevan esa forma, tienen esa letra por nombre. En BARBARA encontramos esa letra tres veces. Digamos que no se ha encontrado una razón lógica para que sea así, es decir, por qué se han agregado las dos B y las dos R. Suele decirse que el listado de los modos (que incluye otros como CELARENT, DARII, etc.) se ha hecho de esa manera para memorizarlas facilmente.
En fin, en este modo del silogismo categórico, el término medio es el predicado de la premisa mayor y el sujeto de la premia menor, mientras que el término menor es sujeto de la mayor. Un ejempl sería:
Todas las disonancias acústicas son también disonancias artmónicas. Los acordes con quinta dismonuída son disonantes desde el punto de vista acústico. Luego, los acordes con quinta disminuída son disonantes desde el punto de vista armónico.
Hay una relación que se establece entre los términos en las proposiciones universales afirmativas (A). Y esa relación es transitiva. Pero en ambos casos no es la misma relación (son dos relaciones con una misma propiedad). Una cosa es el modo de inferir un enunciado en base a la relación que en su interior mismo se establece, dado que existen otros dos enunciados que lo permiten hacer, a afirmar que entre dos enunciados existe una determinada relación, basándose en que un tercer enunciado se relaciona con uno de un modo, con le otro del recíproco, teniendo en cuenta esa misma relación. La diferencia, que es la base de la separación de la lógica en proposicional y de de predicados, estriba en que en un caso el enunciado es la unidad mínima de análisis, mientras que en el otro éste es analizado en predicados y aquello de lo que se predica, argumento y función diría Frege.
En la lógica proposicional puede probarse una regla de transitividad. Sean A, B y C proposiciones bien formadas arbitrariamente escogidas, que incluyan cualquier número de variables, de conectivas y paréntesis; con la condición de que existan pruebas tanto para A → B como para B → C. Es decir, A implica B y B implica C. Ahora sustituímos en la ley de transitividad p/A, q/B y r/C, nos queda:
A → B → [B → C →. A → C]
Pero como convenimos en escoger A y B de modo tal que sabemos que A → B, luego, por modus ponens, tenemos:
B → C →. A → C
Nuevamente, como habíamos convenido en que B → C era una proposición necesariamente verdadera, luego:
A → C
Así, de ⊢ A → B y ⊢ B → C se sigue ⊢ A → C
____________
1. Ocurre de una manera similar a cuando decimos que un silogismo categórico compuesto de tres proposiciones universales afirmativas es válido. Este "modo" de silogismo, es decir, uno compuesto con tres proposiciones universales afirmativas, se ha dado en llamar BARBARA. ¿Por qué? Sencillamente, porque la proposición universal afirmativa, es decir una que predique algo de la totalidad de lo que pone como sujeto del asreto, se llama A. Como las tres llevan esa forma, tienen esa letra por nombre. En BARBARA encontramos esa letra tres veces. Digamos que no se ha encontrado una razón lógica para que sea así, es decir, por qué se han agregado las dos B y las dos R. Suele decirse que el listado de los modos (que incluye otros como CELARENT, DARII, etc.) se ha hecho de esa manera para memorizarlas facilmente.
En fin, en este modo del silogismo categórico, el término medio es el predicado de la premisa mayor y el sujeto de la premia menor, mientras que el término menor es sujeto de la mayor. Un ejempl sería:
Todas las disonancias acústicas son también disonancias artmónicas. Los acordes con quinta dismonuída son disonantes desde el punto de vista acústico. Luego, los acordes con quinta disminuída son disonantes desde el punto de vista armónico.
Hay una relación que se establece entre los términos en las proposiciones universales afirmativas (A). Y esa relación es transitiva. Pero en ambos casos no es la misma relación (son dos relaciones con una misma propiedad). Una cosa es el modo de inferir un enunciado en base a la relación que en su interior mismo se establece, dado que existen otros dos enunciados que lo permiten hacer, a afirmar que entre dos enunciados existe una determinada relación, basándose en que un tercer enunciado se relaciona con uno de un modo, con le otro del recíproco, teniendo en cuenta esa misma relación. La diferencia, que es la base de la separación de la lógica en proposicional y de de predicados, estriba en que en un caso el enunciado es la unidad mínima de análisis, mientras que en el otro éste es analizado en predicados y aquello de lo que se predica, argumento y función diría Frege.
martes, 19 de febrero de 2013
De una peculiaridad observable del uso teórico de la Razón Pura
El relativamente ínfimo (con respecto a su totalidad) número de matemáticos con los que he intercambiado opiniones y puntos de vista, me ha transmitido la opinión de que afinca una considerable distancia entre la sintaxis de la lógica meramente proposicional y los cursos por donde su razonamiento frecuenta. No pocas veces, tratándose de ello, sus razonamientos tiene la forma: "las tablas de verdad siempre bastan para decidir si una fórmula proposicional debe aceptarse ¿para qué entonces andar dedicando tiempo a rodeos por el lenguaje objeto si con las tablas se responden todas las preguntas allí posibles?".
En efecto, la semántica es suficiente, por sí misma, porque el sistema del cálculo de enunciados es completo y consistente. Una fórmula pasa la prueba de las tablas de verdad si (y sólo si) es válida. Y cómo se trata de una semántica basada sólo en dos funciones, la función unaria de la negación y la función binaria de la implicación material, cuyos dominios y rangos se construyen con sólo dos elementos, se estima, por añadidura, en poco el sistema en cuestión¹.
No obstante, cuando se trata de hacer demostraciones en dicho ámbito proposicional, se recurre en ocasiones a consabidos metateoremas como el de la deducción que han llevado la tarea a un grado tal de parsimonia, que incluso resulta más conveniente aún eso que el trazado sobre el papel de las tablas de veradad.
Es que la ciencia, se dirá, debe seguir su curso incesante de progreso, sin detenerse en problemas harto sabidos, resueltos ya por las generaciones de nuestros antepasados, sino afrontar los desafíos siempre nuevos, aquellos cuya solución nos aguarde aún.
Pero ¿pueden ser esgrimidos motivos formalistas en sentido estricto para ello, o sólo lógicos en sentido metafórico, con lo insuficiente de esto último al punto de vista que debe seguir la ciencia? El mismo Kant, en su Crítica de la Razón Práctica fue de esta opinión. Pero pese a que, si bien usualmente sustituyendo por autores más actuales el nombre del filósofo de Königsberg, argumentos así no son infrecuentes, no nos sería lícito conformarnos con eso.
¿Y si nos fuera lícito dudar de todo hasta el punto de preguntarnos si todo el progreso de la saber científico no es más que una serie de vueltas en círculo eludiendo siempre los mismos e irresueltos problemas? Muy probablemente parezca al lector semejante duda demasiado extrema como para justificar aun el ocuparse en examinar sus derechos, los indicios en su favor y en su contra. Además, la progresividad del sendero de la ciencia parece una verdad tan natural que ponerla en entredicho sólo puede dar la impresión de una broma.
Se trata, evidentemente, de un falso problema. El movimiento deductivo, por llamarlo así, va sumando nuevos teoremas y metateoremas, sin contramarcha alguna, a veces más rápidamente, otras menos, nadie habrá que dude de eso. Y a la vez, aquello cuya forma no sea la que nuestra facultad cognoscitiva requiere que su objeto posea para entenderlo, —y que por tanto será inocuo a ese movimiento— no dará noticias pues quien transita ese camino hace tiempo ha aprendido a no comlicarse en su trayecto en formas tales. Pero nada de eso prueba, de ningún modo, que al franquear los límites de la razón pura especulativa no pueda la presencia de aquello volverse presente.
______
NOTA:
1. Y ni hablar de los puentes que puedan trazarse entre la lógica formal, ciencia necesariamente pura, y aquellas situaciones necesariamente informales en que se hace uso de la lógica, como cuando alguien quiere explicar la absoluta imposibilidad de un hecho, por ejemplo (para lo cual de nada serviría esgrimir motivos empíricos), etc.
En efecto, la semántica es suficiente, por sí misma, porque el sistema del cálculo de enunciados es completo y consistente. Una fórmula pasa la prueba de las tablas de verdad si (y sólo si) es válida. Y cómo se trata de una semántica basada sólo en dos funciones, la función unaria de la negación y la función binaria de la implicación material, cuyos dominios y rangos se construyen con sólo dos elementos, se estima, por añadidura, en poco el sistema en cuestión¹.
No obstante, cuando se trata de hacer demostraciones en dicho ámbito proposicional, se recurre en ocasiones a consabidos metateoremas como el de la deducción que han llevado la tarea a un grado tal de parsimonia, que incluso resulta más conveniente aún eso que el trazado sobre el papel de las tablas de veradad.
Es que la ciencia, se dirá, debe seguir su curso incesante de progreso, sin detenerse en problemas harto sabidos, resueltos ya por las generaciones de nuestros antepasados, sino afrontar los desafíos siempre nuevos, aquellos cuya solución nos aguarde aún.
Pero ¿pueden ser esgrimidos motivos formalistas en sentido estricto para ello, o sólo lógicos en sentido metafórico, con lo insuficiente de esto último al punto de vista que debe seguir la ciencia? El mismo Kant, en su Crítica de la Razón Práctica fue de esta opinión. Pero pese a que, si bien usualmente sustituyendo por autores más actuales el nombre del filósofo de Königsberg, argumentos así no son infrecuentes, no nos sería lícito conformarnos con eso.
¿Y si nos fuera lícito dudar de todo hasta el punto de preguntarnos si todo el progreso de la saber científico no es más que una serie de vueltas en círculo eludiendo siempre los mismos e irresueltos problemas? Muy probablemente parezca al lector semejante duda demasiado extrema como para justificar aun el ocuparse en examinar sus derechos, los indicios en su favor y en su contra. Además, la progresividad del sendero de la ciencia parece una verdad tan natural que ponerla en entredicho sólo puede dar la impresión de una broma.
Se trata, evidentemente, de un falso problema. El movimiento deductivo, por llamarlo así, va sumando nuevos teoremas y metateoremas, sin contramarcha alguna, a veces más rápidamente, otras menos, nadie habrá que dude de eso. Y a la vez, aquello cuya forma no sea la que nuestra facultad cognoscitiva requiere que su objeto posea para entenderlo, —y que por tanto será inocuo a ese movimiento— no dará noticias pues quien transita ese camino hace tiempo ha aprendido a no comlicarse en su trayecto en formas tales. Pero nada de eso prueba, de ningún modo, que al franquear los límites de la razón pura especulativa no pueda la presencia de aquello volverse presente.
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NOTA:
1. Y ni hablar de los puentes que puedan trazarse entre la lógica formal, ciencia necesariamente pura, y aquellas situaciones necesariamente informales en que se hace uso de la lógica, como cuando alguien quiere explicar la absoluta imposibilidad de un hecho, por ejemplo (para lo cual de nada serviría esgrimir motivos empíricos), etc.
viernes, 15 de febrero de 2013
La transitividad de la implicación material
La implicación material es una relación entre dos enunciados. Siempre que tengamos dos de ellos cualesquiera, entonces la relación se mantiene entre ambos en alguna de las dos formas en que esto puede ocurrir, es decir implicando uno al otro o vice versa. Esto es bastante curioso, e incluso bastante extraño. Los lógicos han terminado por ponerse de acuerdo en dar este significado a la implicación y no otras, como el de la «implicación estricta» por ejemplo.
De todas formas, no era a eso a lo que me iba a referir, sino una propiedad que puede demostrarse de la relación en cuestión, a saber, la transitividad. Esto quiere decir que dadas tres proposiciones, si alguna es implicada por una de las otras e implica la restante, entonces esta última es implicada también por la otra. Más fácil de ver: si p → q y si q → r, entonces p → r. Puede formularse así:
p → q → [q → r →. p → r] (ley de transitividad de la implicación material)
Lo cual puede ser de utilidad en caso de que alguien quiera probar una implicación y ya haya probado las dos premisas. Es como si tuviéramos una regla que dijera: p → q, q → r ⊢ p → r, de lo cual se deduce lo anterior mediante el teorema de la deducción. También se podría probar, apelando a dicho teorema, del modo siguiente.
Esto p → q, q → r, p ⊢ r se prueba ya que de p → q y p se obtiene q (por modus ponens), y de q y q → r, por el mismo motivo se obtiene r, que es lo que se quería probar. Por otro lado, si llegamos a tener probado p → q y q → r, entonces con la fórmula p → q → [q → r →. p → r] nos basta, pues inferimos primero q → r →. p → r (por modus ponens) y luego p → r. Esto puede hacerse incluso incluso con las premisas en otro orden, es decir en base a:
q → r → [p → q →. p → r] (segunda ley de transitividad de la implicación material)
Lo cual se prueba mediante el teorema de la deducción del mismo modo, pero también del siguiente (véase este post para los axiomas y las reglas):
Probaremos primero dos lemas que harán más legible, creo, la demostración.
Lema I: si ⊢ A, luego ⊢ B → A
Prueba:
1 Sea ⊢ A
2 A →. B → A Axioma I
3 B → A modus ponens, 1 y 2.
Lema II: si ⊢ A →. B → C, luego ⊢ A → B →. A → C
Prueba:
1 Sea ⊢ A →. B → C
2 [A →. B → C] → [A → B →. A → C] Axioma II
3 A → B →. A → C modus ponens, 1 y 2.
Entonces tenemos:
1 [p →. q → r] → [p → q →. p → r]
Axioma II
2 q → r →. [p →. q → r] → [p → q →. p → r]
Lema I, 1.
3 q → r → [p →. q → r] →. q → r → [p → q →. p → r]
Lema II, 2.
4 q → r → [p →. q → r]
Axioma I.
5 q → r → [p → q →. p → r]
modus ponens, 3 y 4.
Y si queremos probar el teorema con las premisas en el orden habitual (lo cual puede ser de mayor utilidad en ciertos casos), procedemos así:
1 p → r → [p → q →. p → r]
Axioma I, Sust.
2 [q → r →.p → q] → [q → r →. p → r]
Lema II, teorema anterior
3 p → q → [q → r →. p → q]
Axioma I, Sust.
4 [q → r →.p → q] → [q → r →. p → r] → [p → q → [q → r →. p → q] →. p → q → [q → r →. p → r]]
ley de transitividad infra.
5 p → q → [q → r →. p → q] →. p → q → [q → r →. p → r]]
modus ponens, 2 y 4.
5' [pq →. qr → pq] → [pq →. qr → pq]
6 p → q → [q → r →. p → r]
modus ponens, 3 y 5.
De todas formas, no era a eso a lo que me iba a referir, sino una propiedad que puede demostrarse de la relación en cuestión, a saber, la transitividad. Esto quiere decir que dadas tres proposiciones, si alguna es implicada por una de las otras e implica la restante, entonces esta última es implicada también por la otra. Más fácil de ver: si p → q y si q → r, entonces p → r. Puede formularse así:
p → q → [q → r →. p → r] (ley de transitividad de la implicación material)
Lo cual puede ser de utilidad en caso de que alguien quiera probar una implicación y ya haya probado las dos premisas. Es como si tuviéramos una regla que dijera: p → q, q → r ⊢ p → r, de lo cual se deduce lo anterior mediante el teorema de la deducción. También se podría probar, apelando a dicho teorema, del modo siguiente.
Esto p → q, q → r, p ⊢ r se prueba ya que de p → q y p se obtiene q (por modus ponens), y de q y q → r, por el mismo motivo se obtiene r, que es lo que se quería probar. Por otro lado, si llegamos a tener probado p → q y q → r, entonces con la fórmula p → q → [q → r →. p → r] nos basta, pues inferimos primero q → r →. p → r (por modus ponens) y luego p → r. Esto puede hacerse incluso incluso con las premisas en otro orden, es decir en base a:
q → r → [p → q →. p → r] (segunda ley de transitividad de la implicación material)
Lo cual se prueba mediante el teorema de la deducción del mismo modo, pero también del siguiente (véase este post para los axiomas y las reglas):
Probaremos primero dos lemas que harán más legible, creo, la demostración.
Lema I: si ⊢ A, luego ⊢ B → A
Prueba:
1 Sea ⊢ A
2 A →. B → A Axioma I
3 B → A modus ponens, 1 y 2.
Lema II: si ⊢ A →. B → C, luego ⊢ A → B →. A → C
Prueba:
1 Sea ⊢ A →. B → C
2 [A →. B → C] → [A → B →. A → C] Axioma II
3 A → B →. A → C modus ponens, 1 y 2.
Entonces tenemos:
1 [p →. q → r] → [p → q →. p → r]
Axioma II
2 q → r →. [p →. q → r] → [p → q →. p → r]
Lema I, 1.
3 q → r → [p →. q → r] →. q → r → [p → q →. p → r]
Lema II, 2.
4 q → r → [p →. q → r]
Axioma I.
5 q → r → [p → q →. p → r]
modus ponens, 3 y 4.
Y si queremos probar el teorema con las premisas en el orden habitual (lo cual puede ser de mayor utilidad en ciertos casos), procedemos así:
1 p → r → [p → q →. p → r]
Axioma I, Sust.
2 [q → r →.p → q] → [q → r →. p → r]
Lema II, teorema anterior
3 p → q → [q → r →. p → q]
Axioma I, Sust.
4 [q → r →.p → q] → [q → r →. p → r] → [p → q → [q → r →. p → q] →. p → q → [q → r →. p → r]]
Para el caso en que no resulte del todo legible este último teorema (4), lo escribiremos con la siguiente convención: pq siginificará p → q, pq → r será p → q → r, y p → qr será p →. q → r, etc.4' [qr → pq →. qr → pr] → [[pq →. qr → pq] → [pq →. qr → pr]]
ley de transitividad infra.
5 p → q → [q → r →. p → q] →. p → q → [q → r →. p → r]]
modus ponens, 2 y 4.
5' [pq →. qr → pq] → [pq →. qr → pq]
6 p → q → [q → r →. p → r]
modus ponens, 3 y 5.
jueves, 10 de enero de 2013
Teorema de la deducción y permutación de las hipótesis
El teorema de la deducción es el que afirma, por ejemplo, que de una demostración de p suponiendo q se puede concluir que q → p. Dicho teorema sirve para demostrar p → q →. p → q así: p → q, p ⊢ q luego p → q ⊢ p → q luego p → q →. p → q. Pero tal vez sea una forma más correcta de expresarse decir que lo que esto prueba es que existe la demostración de esta última fórmula, antes que ser la prueba de ella. De un modo bastante similar tenemos: p, p → q ⊢ q luego p ⊢ p → q → q luego p →. p → q → q. De nuevo, con esto probamos (en virtud de la prueba del teorema de la deducción) que tal prueba existe, pero no dijimos cual es en concreto (usando sólo el lenguaje objeto).
La prueba de Church proporciona en cierto sentido un modo de dar con una prueba. Veamos por ejemplo el primero de los dos ejemplos del post. El lector dirá probablemente que resulta más lógico probar primero p → p y luego sustituir p por p → q en dicho teorema. Eso se obtendría así:
ley de la reflexividad de la implicación material
1 [p →. p → p → p] →. [p →. p → p] →. p → p ; por sustitución en axioma 2.
2 p →. p → p → p ; sustitución en axioma 1
3 [p →. p → p] →. p → p ; modus ponens 1, 2
4 p →. p → p ; sustitución en axioma 1
*5 p → p ; por modus ponens, 3, 4.
Luego, por sustitución en *5: p → q →. p → q
Pero a diferencia de p → q →. p → q, con p →. p → q → q no podemos proceder así, apelando sencillamente a la reflexividad de →.
Primero tenemos que pasar de p, p → q ⊢ q a p ⊢ p → q →. q. Aquí tenemos p → q en lugar de Aₙ y q de Bₘ (Cf. este post). Para cada B hay que probar Aₙ → B.
Como p es supuesto, sabemos como probar p ⊢ p → q → p. También sabemos probar p → q →. p → q. Tenemos que probar entonces p ⊢ p → q →. q. Y la parte derecha de dicha fórmula es nuestro Aₙ → Bₘ, con lo que usamos:
[Aₙ →. Bₖ → Bₘ] →. Aₙ → Bₖ →. Aₙ → Bₘ
y sustiyendo:
[p → q →. Bₖ → q] →. [p → q] → Bₖ →. p → q. → q
y Bₖ es una las las líneas de la prueba de p, p → q ⊢ q. En este caso es una de las premisas: p. Así, nos queda
[p → q →. p → q] →. p → q → p →. p → q. → q
p → q →. p → q ya sabemos probarlo, obtenemos:
p → q → p →. p → q. → q
Y como p es premisa, probamos también p ⊢ p → q → p. Una vez más modus ponens y nos queda :
p ⊢ p → q. → q
Ahora hacemos el paso que sigue. Sustituyendo en
[Aₙ →. Bₖ → Bₘ] →. Aₙ → Bₖ →. Aₙ → Bₘ
¿Cuál es Bₖ → Bₘ? Pues como vimos:
** p → q → p →. p → q. → q
obtenemos pues:
[p →. [p → q → p] → [p → q. → q] ] →. p → [p → q → p] →. p → [p → q. → q]
El antecedente se prueba por ** y lema 1. Obtenemos:
[p →. p → q → p] →. p →. p → q. → q
Y p →. p → q → p se obtiene en un paso del primer axioma, entonces:
p →. p → q. → q
Que es lo que queríamos probar.
Sin duda, ahora el lector querrá la prueba de algo un poco más general, a saber: [p →. q → r] → [q →. p → r], lo cual establece la posibilidad de permutación en general de las hipótesis en una deducción de modo que si de cualesquiera p y q se concluye r, se las puede suponer en cualquier orden, queda como ejercicio (o se lo encuentra acá).
domingo, 30 de diciembre de 2012
El uso y el prestigio de la razón
En una conversación reciente sobre temas filosóficos escuché decir que la racionalidad se encontraba en algo así como su ocaso. Tal enunciado, claro, contiene propiedades que son extra lógicas. Además, salvo en el caso en que se parta de la noción de una historia, ya lineal o dialéctica, en la que sus momentos se suceden siguiendo el encadenamiento de un orden, justamente, racional; es evidente que no puede ser abordado en ninguna crítica que se se sirva de medios absolutamente apriorísticos.
Si alguien dijera que, en primer lugar, no puede decidirse por medios puramente lógicos si el devenir histórico otorgará tal o cual lugar a la racionalidad, y en segundo que de hacerlo sólo será sobre la base de algún elemento extraído de un conocimiento de ese mismo devenir de un modo intuitivo, sin duda habrá quien quiera responderle que ese enunciado no se reivindica racional, y por ende nada le afectará tal observación. Y como presumiblemente los argumentos meramente formales no serán muy persuasivos en un caso así, deberán esgrimirse otros.
Además, toda la discusión podría ser declarada de "abstracta" (según el uso que recibe el término en ciertas esferas jurídicas) por quien pretenda que la situación aseverada es un hecho presente.
Lo cual nos lleva a un punto de caracter más esencial, a saber, el sentido del enunciado en cuestión. Y, en particular, del termino racional.
Es costumbre en los debates retóricos la subsumsión como modo de reclamar razón. Así, se evoca una palabra como nombre de aquello que el interlocutor esgrime contra una determinada posición para desacreditarla, dejándola así a salvo.
Debates emprendidos en formas semejantes son a no dudarlo los más habituales. Y esto no es de hoy. ¿Qué pasa entonces con la racionalidad, moderna o no?
Es cierto que en la edad moderna la racionalidad ha logrado extender sus confines y abarcar para sí mayores porciones culturales. Pero debe diferenciarse este hecho, el de la extensión efectiva de la influencia de la razón y la lógica, del de la extensión de su prestigio.
La segunda cuestión es más bien política. Es obvio que el uso del prestigio de la razón como fundamento suficiente de alguna proposición no es para nada racional. Es, si se quiere, una forma del argumentum ad verecundiam.
Me imagino, entonces, que para quien la racionalidad se encuentre en algo así como su ocaso, se refiere sin duda a su prestigio. Asumamos esto en lo que sigue.
¿Es esto así? Bueno, ya seguir con esto sería aventurarse en un especulación extrema, con la enorme desventaja que no se trataría de una especulación pura, y así conllevaría sobrepasar los confines del uso recomendado de la misma. Se me ocurre que tales ámbitos del "saber" es el refugio de las especulaciones de deseo (o "elucubraciones de deseo"). Y como el deseo no es sólo de una instancia, el especulador dirá en tales casos lo que quiere que sea, o un deseo contrario a él, etc.
Desde tal punto de mira, parece claro que quienes no han dedicado un gran trabajo al uso racional de la facultad especulativa puedan aseverar la proximidad de un ocaso como el evocado en el post, mientras que quienes lo han hecho por años aseveraran enunciados divergentes. Entonces se vuelve un debate de exhortaciones.
La pregunta es ¿es un debate de tal naturaleza una pérdida de tiempo? Muchos lectores acordarán en que sí lo es. Pero también habrá quienes no consideren de ese modo al entretenimiento, y se entretengan con tales debates, ya sea que formen o no parte de los alocutores.
Pero existe un hecho (lo doy por asumido, pues supongo que todo lector estará de acuerdo, y de no ser así los comentarios permitirán ser ocasión para decir algo más al respecto) y es que tales debates existen, lo han hecho desde hace mucho y muy probablemente sigan haciéndolo. Pareciera haber pues en la razón cierta propensión al entretenimiento, que limita sin duda por lo demás su capacidad productiva.
Y ¿cuál es el lugar de la racionalidad en el entretenimiento de la razón? Antes de dejar lugar a los comentarios (los haya o no) quisiera indicar una cuestión ligada bastante, creo, a esta última pregunta.
En el supuesto avance de la razón durante la época moderna y contemporánea, se han visto desprestigiados distintos modos de argumentación no circunscriptos al conjunto de aquellos basados en al lógica. Ese desprestigio ha hecho, sin duda, que en determinados ámbitos dichos modos se hayan visto reducidos en cierta medida (digo cierta medida, pues no creo que lo haya sido en ningún caso de manera cabal, sea o no por razones de necesidad). Sea cual fuera el nivel de dicha merma, ésta se vuelve notoria al leer sus debates. Pero existen determinados ámbitos donde no se ha corroborado de ninguna manera dicha merma, y una retórica no racional parece regir el pensamiento. El de la oferta publicitaria es sin duda un lugar donde tal cosa se observa con claridad, o al menos que se vé en un análisis lógico se sus enunciados. Y esto es así, incluso, en aquellos casos en que se invoca el prestigio de la ciencia en favor de un producto (frecuente en medicamentos, determinados alimentos para niños, etc.).
Si alguien dijera que, en primer lugar, no puede decidirse por medios puramente lógicos si el devenir histórico otorgará tal o cual lugar a la racionalidad, y en segundo que de hacerlo sólo será sobre la base de algún elemento extraído de un conocimiento de ese mismo devenir de un modo intuitivo, sin duda habrá quien quiera responderle que ese enunciado no se reivindica racional, y por ende nada le afectará tal observación. Y como presumiblemente los argumentos meramente formales no serán muy persuasivos en un caso así, deberán esgrimirse otros.
Además, toda la discusión podría ser declarada de "abstracta" (según el uso que recibe el término en ciertas esferas jurídicas) por quien pretenda que la situación aseverada es un hecho presente.
Lo cual nos lleva a un punto de caracter más esencial, a saber, el sentido del enunciado en cuestión. Y, en particular, del termino racional.
Es costumbre en los debates retóricos la subsumsión como modo de reclamar razón. Así, se evoca una palabra como nombre de aquello que el interlocutor esgrime contra una determinada posición para desacreditarla, dejándola así a salvo.
Debates emprendidos en formas semejantes son a no dudarlo los más habituales. Y esto no es de hoy. ¿Qué pasa entonces con la racionalidad, moderna o no?
Es cierto que en la edad moderna la racionalidad ha logrado extender sus confines y abarcar para sí mayores porciones culturales. Pero debe diferenciarse este hecho, el de la extensión efectiva de la influencia de la razón y la lógica, del de la extensión de su prestigio.
La segunda cuestión es más bien política. Es obvio que el uso del prestigio de la razón como fundamento suficiente de alguna proposición no es para nada racional. Es, si se quiere, una forma del argumentum ad verecundiam.
Me imagino, entonces, que para quien la racionalidad se encuentre en algo así como su ocaso, se refiere sin duda a su prestigio. Asumamos esto en lo que sigue.
¿Es esto así? Bueno, ya seguir con esto sería aventurarse en un especulación extrema, con la enorme desventaja que no se trataría de una especulación pura, y así conllevaría sobrepasar los confines del uso recomendado de la misma. Se me ocurre que tales ámbitos del "saber" es el refugio de las especulaciones de deseo (o "elucubraciones de deseo"). Y como el deseo no es sólo de una instancia, el especulador dirá en tales casos lo que quiere que sea, o un deseo contrario a él, etc.
Desde tal punto de mira, parece claro que quienes no han dedicado un gran trabajo al uso racional de la facultad especulativa puedan aseverar la proximidad de un ocaso como el evocado en el post, mientras que quienes lo han hecho por años aseveraran enunciados divergentes. Entonces se vuelve un debate de exhortaciones.
La pregunta es ¿es un debate de tal naturaleza una pérdida de tiempo? Muchos lectores acordarán en que sí lo es. Pero también habrá quienes no consideren de ese modo al entretenimiento, y se entretengan con tales debates, ya sea que formen o no parte de los alocutores.
Pero existe un hecho (lo doy por asumido, pues supongo que todo lector estará de acuerdo, y de no ser así los comentarios permitirán ser ocasión para decir algo más al respecto) y es que tales debates existen, lo han hecho desde hace mucho y muy probablemente sigan haciéndolo. Pareciera haber pues en la razón cierta propensión al entretenimiento, que limita sin duda por lo demás su capacidad productiva.
Y ¿cuál es el lugar de la racionalidad en el entretenimiento de la razón? Antes de dejar lugar a los comentarios (los haya o no) quisiera indicar una cuestión ligada bastante, creo, a esta última pregunta.
En el supuesto avance de la razón durante la época moderna y contemporánea, se han visto desprestigiados distintos modos de argumentación no circunscriptos al conjunto de aquellos basados en al lógica. Ese desprestigio ha hecho, sin duda, que en determinados ámbitos dichos modos se hayan visto reducidos en cierta medida (digo cierta medida, pues no creo que lo haya sido en ningún caso de manera cabal, sea o no por razones de necesidad). Sea cual fuera el nivel de dicha merma, ésta se vuelve notoria al leer sus debates. Pero existen determinados ámbitos donde no se ha corroborado de ninguna manera dicha merma, y una retórica no racional parece regir el pensamiento. El de la oferta publicitaria es sin duda un lugar donde tal cosa se observa con claridad, o al menos que se vé en un análisis lógico se sus enunciados. Y esto es así, incluso, en aquellos casos en que se invoca el prestigio de la ciencia en favor de un producto (frecuente en medicamentos, determinados alimentos para niños, etc.).
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