p → q → p → p

1.   p → q → p →. ~p → ~.p → q
     Sustitución en modus tollens

2.   [~p →. p → q] →. ~p → ~[p → q] →. ~~p
     Sustitución en reductio ad absurdum
 
3.  [~p → ~.p → q] → ~~p
     Modus ponens (2 y Ex falso sequitur quodlibet)
 
4.   p → q → p → ~~p
     Regla de Transitividad (1 y 3)

5.   p → q → p → p
     Regla de Transitividad (4 y Doble negación)


Esta la fórmula ha de escribirse, en su forma desplegada : [[[p → q] → p] → p]. Según las convenciones adoptadas por Church se escribe también como figura en el título y en (5).

p →. p → q → q

1.  p → q →. p → q
     Por reflexividad de →

2.  p → q → p →. p → q → q
     Lema 2, 1

3.  p →. p → q → p →. p → q. → q
     Lema 1, 2

4.  p → [p → q → p] →. p → .p → q. → q
     Lema 2, 3

5.  p → .p → q → q
     Modus Ponens 1 y 4

 Esta fórmulas, una vez restaurados los paréntesis, se escribe: [p → [[p → q] → q]].

Equivalencia entre cuantificaciones

Hemos visto aquí que podía, una vez introducido el cuantificador universal, intruducirse 'por definición' el existencial con la siguiente fórmula: (∃a)A ≡df ~(a)~A.

Esto significa que el universar está implicitamente definido en los axiomas mientras que el otro a partir de él. Facil resulta probar, dada la definición, que ~(∃a)A ≡ (a)~A, que (∃a)~A ≡ ~(a)A y que y ~(∃a)~A ≡ (a)A; y en todo caso lo dejaremos para el lector.

Por otra parte, en la deducciónnatural, no se introduce un por defición y otro en los axiomas. De hecho, no hay axiomas sino reglas en los cuales está implícita su definición sintáctica. Por su puesto que no se debe ni al azar ni a ninguna armonía prestablecida que las equivalencias se cumplan en este sistema, pues al elaborárselo eran condición suya. Pero veamos cómo probarlas en él.

Primero: (x)A ≡ ~(∃x)~A

1 (x)A                     sup

2 (∃x)~A                 sup

3 ~A                       sup

4 A                         E∀, 1

5 ⊥                        3 y 4

6 ~A → ⊥                T.D. (3 a 5)

7 ⊥                         E∃ (2 y 6)

8 ~(∃x)~A                 RAA (2 - 7)

9 (x)A → ~(∃x)~A      T.D. (1 a 8)

1 ~(∃x)~A             sup

2 ~A                     sup

3 (∃x)~A               I∃ 2

4 ⊥                      1 y 3

5 ~~A                    RAA (2-4)

6 A                       Dneg

7 (x)A                    I ∀

8 ~(∃x)~A → (x) A   T.D. (1 a 7)

Ahora: ~(a)~A ≡ (∃a)A

1 ~(x)~A                     sup

2 ~(∃x) A                    sup

3 A                             sup

4 (∃x) A                     I∃, 3

5 ⊥                            2 y 4

6 ~A                           RAA (3-5)

7 (x)~A                        I∀, 6

8 ⊥                            1 y 7

9 ~~(∃x) A                   RAA(2-8)

10 (∃x) A                    D.Neg

11 ~(x)~A → (∃x) A      T.D. (1 a 10)

Y los restantes pueden ser tarea del lector.

Sustitutividad de la equivalencia, segunda parte.

Ahora consideremos, siguiendo con el post anterior sobre la sustitutividad de la equivalencia, que se realiza la sustitución y hay alguna ocurrencia en A de algún →, ~ o ∀. 

Existen tres casos: 

1) A es A₁ → A₂, 

2)A es ~A₁ y 

3) A es ∀xA₁. 

Primer caso: A es A₁ → A₂

Aquí (salvo en el caso a, ver post anterior) B es B₁ → B₂ donde B₁ y B₂ resultan por sustitución de M por N en A₁ y A₂. Por hipótesis de inducción:

*1) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ ≡ B₁ y

*2) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₂ ≡ B₂

Necesitamos probar, entonces, que de (*1) y (*2) se sigue el teorema.

Primero probemos T₁:

p → q →. r → s →. q → r →. s → t

Cuando figuren dos letras proposicionales una al lado de la otra así: pq, significará [p → q].

a) pq →. qr →. ps

transitividad de →

b) ps →. st →. pt

transitividad de →

c) [ps →. st → pt] →. qr → ps →. qr →. st → pt

transitividad de →

d) qr → ps →. qr →. st → pt

modus ponens (c y b)

e) pq →. qs →. st → pt

Regla de transitividad, (a y d)

f) p → qr →. q → pr

ley de conmutación

g) [qs →. st → pt] →. st →. qs → pt

R2, (f)

h) pq →. st →. qs → pt

Regla de transitividad (e y g)

Ahora probemos T₂: 

[p →. q → rs] →. pq →. pr → ps

a) [p →. r → s] →. pr → ps

Axioma 2

b) [p →. q → rs] →. pq →. p → rs

Axioma 2

c) [p → rs →. pr → ps] →. [pq →. p → rs] →. pq →. pr → ps

ley de transitividad de → 2

d) [pq →. p → rs] →. pq →. pr → ps

modus ponens (c y a)

e) [p →. q → rs] →. pq →. pr → rs

Regla de transitividd, (b y d)

Ahora escojamos cinco fórmulas cuales quiera A₁, A₂, B₁, B₂ y C tales que sea

*11) ⊢ C →. A₁ → B₁, ⊢ C →. A₂ → B₂

*12) ⊢ C →. A₂ → B₂ y ⊢ C →. A₂ → B₂

(es decir ⊢ C →. A₁ ≡ B₁ y ⊢ C →. A₂ ≡ B₂)

Tenemos:

a) B₁ → A₁ →. A₂ → B₂ →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂ y

b) A₁ → B₁ →. B₂ → A₂ →. B₁ → B₂ →. A₁ → A₂

ambos por regla 2, T₁.

Sustituyendo en T₂, obtenemos (c) y (d):

c) [C →. B₁A₁ →. A₂B₂ →. A₁A₂ → B₁B₂] →. C → B₁A₁ →. C → A₂B₂ →. C →. A₁A₂ → B₁B₂

d) [C →. A₁B₁ →. B₂A₂ →. B₁B₂ → A₁A₂] →. C → A₁B₁ →. C → B₂A₂ →. C →. B₁B₂ → A₁A₂

Luego:

e) C →. B₁A₁ →. A₂B₂ →. A₁A₂ → B₁B₂

Lema 1, (a)

f) C →. A₁B₁ →. B₂A₂ →. B₁B₂ → A₁A₂

Lema 1, (b)

Y entonces

h) C → B₁A₁ →. C → A₂B₂ →. C →. A₁A₂ → B₁B₂

i) C → A₁B₁ →. C → B₂A₂ →. C →. B₁B₂ → A₁A₂

ambos por modus ponens (c y e) y (d y f). Esto se cumple para cualesquiera fórmulas (bf) C, A₁, A₂, B₁ y B₂.

Ahora sustituímos C por ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] (regla de sust.), con lo cual obtenemos:

h') [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → A₁] →. [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₂ → B₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂

i') [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → B₁] →. [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₂ → A₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → B₂ → A₁ → A₂

Entonces (recuérdense las hipótesis de la inducción *1 y *2):

j) [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₂ → B₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂

modus ponens, (h' y *1)

k) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ → A₂ →. B₁ → B₂

modus ponens, (j y *2)

l) [∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₂ → A₂] →. ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → B₂ → A₁ → A₂

modus ponens, (i' y *1)

m) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. B₁ → B₂ → A₁ → A₂

modus ponens (l y *2)

Y como A es A₁ → A₂ y B es B₁ → B₂, luego hemos probado:

n) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A ≡. B

Ahora el segundo caso: A es ~A₁

Así, B es ~B₁ y nuestra hipótesis de inducción establece que

*) ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A₁ ≡ B₁

Debemos probar

[C →. q ≡ r] →. C → ~q ≡ ~r

y sustutuir C por la hipótesis, q por A₁ y r por B₁ para obtener por modus ponens lo que queremos, de modo similar al primer caso.

Sabemos por el axioma 3 y por modus tolens que:

a) q ≡ r →. ~q ≡ ~r

Por otra parte:

b) p → q →. C →. p → q

Axioma 1

c) [C →. p → q] →. C → p →. C → q

Axioma 2

d) [C →. q ≡ r →. ~q ≡ ~r] →. C → q ≡ r →. C →. ~q ≡ ~r

Sustituyendo en (b)

e) C →. q ≡ r →. ~q ≡ ~r

lema 1, (a)

f) C → q ≡ r →. C →. ~q ≡ ~r

modus ponens (d y e)

Finalmente, nos queda el tercer caso: A es ∀xA₁

Aquí, B es ∀xB₁. hay que probar:

A ≡ₓ B →. (x)A ≡ (x)B

Y con eso obtenemos la prueba utilizando la transitivida de →.

Sabemos, desde luego, que:

a) A ≡ B →. A → B y

b) A ≡ B →. B → A , por la definición de ≡.

c) ∀x[A ≡ B] →. A → B

regla 5 y reflexividad de →

d) ∀x[A ≡ B] →. ∀x[A → B]

Lema 4

e) (x)A → A

regla 5

f) [p →. q → r] →. s → q →. p → s → r

ver prueba

g) [A ≡ₓ B →. A → B] →. (x)A → A →. [A ≡ₓ B →. (x)A → B]

sust, (f)

h) (x)A → A →. [A ≡ₓ B →. (x)A → B]

modus ponens, (g y c)

i) A ≡ₓ B →. (x)A → B

modus ponens, (h y e)

j) A ≡ₓ B →. (x)A →ₓ B

lema 4, i

k) (x)A →ₓ B →. (x)A → (x)B

Axioma 4

l) A ≡ₓ B →.(x)A → (x)B

Regla de transitividad

Sustitutividad de la equivalencia

El sistema axiomático de Nicod-Lukasievicz se caracteriza por bastar para abarcar a la lógica proposicional en su conjunto, quiero decir, para probar cada uno de sus teoremas, y no contar más que con un solo teorema y dos reglas de inferencia. Su nombre tiene el de dos personas pues la primera de ellas no dió su versión definitiva sino que su versión del axioma difería en el número de variables proposicionales del de la segunda según quien, por otra parte, había omitido explicitar que el sistema incluía la regla de sustitución −además de faltarle un paso en la demostración de la reflexividad de → al publicarlo−, (ver).

Tal regla de sustitución, que puede encontrarse como conformando este sistema axiomático de lógica de primer orden, afirma que una variable proposicional puede ser sustituída por una fórmula cualquiera constituyendo un paso válido de prueba.

Algunos sistemas axiomáticos prescinden de ella. Por ejemplo, si el citado es reemplazado por uno en que en lugar de los axiomas presentara "esquemas de axiomas" de la misma forma pero que en lugra de p → [q → p], etc., sea A → [B → A], etc., donde A y B no son variables proposicionales sino lugares a ser ocupados por fórmulas cualesquiera; entonces la regla de sustitución podría ser una regla derivada (omitimos la prueba en este post).

Pero cuando hablamos de "sustitutividad de la equivalencia" nos referimos a una cosa completamente distinta. Con ello mentamos que si dos fórmulas son equivalentes y una de ella es una parte de una tercera, entonces la resultante de sustituir en esta última tal fórmula por la otra (su equivalente), es equivalente con ella. Por si resulta más claro, en símbolos:

Si M ≡ N, y si B resulta de sustituir N por M en A en cero o más lugares, entonces A ≡ B.

Es decir que B es S[N/M]A|, y que si ⊢ M ≡ N, luego ⊢ A ≡ B.

Una muy útil regla de inferencia que se sigue de ella es que si B es S[N/M]A|, si ⊢ M ≡ N y si ⊢ A, luego ⊢ B. Una muestra suficiente de su utilidad está en que con ella, en conjunto con algunos teoremas del cálculo restringido de predicados, puede probarse que cualquier fórmula tiene una equivalente en forma normal prenexa. Lo cual es un paso para una de las demostraciones de la completitud semántica de dicho cálculo. Probemosla, pues por inducción, según el número de ocurrencias de los signos →, ~ y ∀. Formulemos el teorema para la lógica de primer orden:

Si B resulta de A por sustitución de N por M en cero o más lugares de A (no necesariamente todas las ocurrencias de M en A), y si x₁, x₂, ..., xₙ es una lista de variables individuales que incluye al menos todas aquellas variables libres en M y en N que ocurren también como variables ligadas en A, entonces: ⊢ ∀x₁x₂...nₙ[M ≡ N] →. A ≡ B

Primero veamos los casos a) la sustitución de N por M tiene lugar en cero lugares en A, y b) M coincide con A y se sustituye una ocurrencia de M en A.

a) En este caso B es lo mismo que A por que se obtiene de A sin cambiar nada en ella. Luego,

∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ B

es lo mismo que

∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ A

Sustituyendo en el axioma 1 (ver post citado):

A ≡ A →. ∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ A

Como A ≡ A (por reflexividad de la implicación material), luego, por modus ponens:

∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ A

b) En este caso A es lo mismo que M y B lo mismo que N. De modo que:

∀x₁x₂...xₙ[M ≡ N] →. A ≡ B

en nada difiere de

∀x₁x₂...xₙ[A ≡ B] →. A ≡ B

Pero dicha fórmula se obtiene por medio del axioma 5 aplicado n veces y la regla de transitividad.

Debemos considerar ahora que se realiza la sustitución y hay alguna ocurrencia en A de algún →, ~ o ∀. 

Existen tres casos: 

1) A es A₁ → A₂,

2)A es ~A₁ y 

3) A es ∀xA₁. 

Lo que resta puede leerse en el siguiente post.

Ley de reductio ad absurdum

La reductio ad absurdum es una manera muy habitual de proceder, no sólo dentro de la actividad deductiva. Básicamente, ella consiste en el rechazo del absurdo, que nuestra razón parece realizar espontáneamente. No es mi intención sin embargo dejar sentado este último aserto. Existen quienes (yo hablé con uno hace poco) niegan que, el otrora llamado animal racional, proceda ni aún las más de las veces de tal modo. Una posición en cierto modo sintética (y en sentido estricto, no) es la que considera la actividad humana como no rigiéndose todas las veces según ese principio, pero pudiendo hacerlo, aunque no particularmente inclinado a ello. En apoyo de tal idea del hombre se aboga, en numerosas oportunidades, el testimonio de la experiencia según la cual el mantenimiento estricto de las leyes de la lógica en el acto de pensar supone cierto esfuerzo a falta de cual no está garantizado. Así, el hombre sería libre de ser racional, pero pudiendo dar otros usos a su arbitrio. Aunque esto a riesgo de descaminarse, pues la verdad sólo puede ser racional, y cualquier afirmación que no lo sea será banal, no será, en rigor, más que nada.

Un inconveniente con dicha concepción fue señalado por el mismo Descartes en su cuarta meditación¹, pues no es lo mismo el error que la ignorancia. No es lo mismo, por ejemplo, pretender haber probado una contradicción, que no poseer la prueba de su negación. Tal y como lo apunta el filósofo, se trata de dos órdenes ditintos, los que Kant llama práctico y especulativo. Creer que uno ha probado una contradicción es un acto, así como lo es la restitución de un depósito por ejemplo. Hay actos encomiables y también los hay reprochables. Pero también hay otros que no son ni tanto ni tan poco. Las afirmaciones, se pueda o no decidir esto, son verdaderas o no lo son, tertium non datur.

Claro que esto último puede considerarse una posición un poco extrema. ¿No hay sistemas lógicos que no son binarios acaso? ¿Y eso no prueba su posibilidad? ¿Pero entonces son racionales o no?

En la modernidad se solía dividir las aguas de manera tajante: el conocimiento y el voluntad. Para Descartes es una confusión entre ambos la fuente del error:

"¿De dónde nacen, pues, mis errores? Nacen de que la voluntad, siendo mucho más amplia y extensa que el entendimiento, no se contiene dentro de los mismos límites, sino que se extiende, además, a las cosas que no comprendo, y, como de suyo es indiferente, se extravía con mucha facilidad y elige lo falso en lugar de lo verdadero, el mal en vez del bien; y esta es la causa por la cual me engaño y peco" (op. cit).

Se ve con claridad que la división no es completa. Uno podría deducirla de la misma exhortación que se hace para mantener la línea divisoria, pues si hay que advertir al respecto es porque, cuando menos, la confusión es una posobilidad. Esta misma conclusión puede obtenerse también sin apelar si quiera al modus tollens. El entendimiento es la facultad humana de concebir la verdad, expresada en sentencias, cuyo uso se consuma en la aseveración de las mismas. Toda aseveración es una acción humana. Por ende, el entendimeinto está subsumido (como bien afirmó Kant) a la praxis. De este modo, las discusiones sobre si el hombre es o no racional en el sentido en que sólo ha de sobordinarse al imperio de la razón es cuestión de razón práctica, no especulativa.

Podemos entonces proseguir describiendo en qué consiste esta ley de reducción al absurdo. Desde un punto de vista retórico, uno diría: se reduce el argumento que se quiere criticar a algún absurdo, es decir, se deduce de él una contradicción por todos conocida, y así se lo descarta. De modo formal diríamos: si una proposición permite inferir una contradición, entonces es falsa. Y la contradicción puede definirse con contar con dos proposiciones, una de las cuales es la negación de la otra, p y ~p. Así, en símbolos:

p → q, p → ~q ⊢ ~p

Usanto el teorema de la deducción podemos probar, en tres pasos:

p → q →. p → ~q → ~p (ley de reductio ad absurdum)

Pero procedamos ahora a demostrarla para esta formulación de la lógica proposicional de otra manera.

Primero probemos el converso del tercer axioma, a saber: p → q →. ~q → ~p.

1   q → ~~q →. p → q →. p → ~~q
    Ley de Transitividad-I.

2  p → q →. p → ~~q
     modus ponens, 1 y converso de doble negación.

3  ~~p → p →. p → ~~q →.~~p → ~~q
     Transitividad-I


4  p → ~~q →.~~p → ~~q
    modus ponens, 3 y doble negación

5  p → q →. ~~p → ~~q
    Regla de transitividad , 2, 4.

6   ~~p → ~~q →. ~q → ~p
     Axioma III

7   p → q →. ~q → ~p
     Regla de transitividad, 5 y 6.

Ahora consideremos que ~p es equivalente a p → ~[r → r] dado que el consecuente de eta fórmula es necesariamente falso y por lo tanto el condicional lo será también si (y sólo si) el antecedente es verdadero. Para probar esto escribimos:

1 ~p →. p → ~[r → r]
    EFSQ


2   p → ~[r → r] →. ~~[r → r] → ~p
     modus tollens

3   [p → ~[r → r] →. ~~[r → r]] →. p → ~[r → r] → ~p
     Lema 2,  2

4  ~~[r → r]
     R1: Doble negación y ref→

5  ~~[r → r] →. p → ~[r → r] →. ~~[r → r]
     R2: Ax1

6   p → ~[r → r] →. ~~[r → r]
     R1: 4 y 5

7   p → ~[r → r] → ~p
     R1: 3 y 6

Así:

* ~p ≡ p → ~[r → r]

Seguimos de este modo:

**  [p →. q → ~[r → r]] →. p → q →. p → ~[r → r]
     Axioma II

La equivalencia cuya prueba está dada arriba permitiría probar, en caso de contar con el teorema de sustitución de la equivalencia, con ** el teorema: p → ~q →. p → q → ~p, que no es otra cosa que una versión de la reducción al absurdo con las premisas permutadas. Como no usaremos ese teorma de sustitución recurriremos, primero, a la regla de la transitividad:

1  [~q →. q → ~[r → r]] →. p → ~q →. p →. q → ~[r → r]
    (ley de transitividad)

2  p → ~q →. p →. q → ~[r → r]
    modus ponens, 1 y *

3  p → ~q →. p → q →. p → ~[r → r]
    Regla de transitividad, 2 y **

4  p → ~[r → r] → ~p →. [p → q →. p → ~[r → r]] →. p → q →. ~p
    (segunda ley de transitividad)

5  [p → q →. p → ~[r → r]] →. p → q → ~p
    modus ponens 4 y *

6 *** p → ~q →. p → q →. ~p
   Regla de transitividad, 3 y 5.

Con esto hemos probado la reducción al absurdo, si bien con las premisas en el orden inverso al habitual. Para obtener esta última nos servimos de la ley de conmutación:

1  [p → ~q →. p → q →. ~p] →. p → q →. p → ~q →. ~p
    ley de conmutación
2  p → q →. p → ~q →. ~p
    modus ponens, 1 y ***


______________
1. Descartes, Meditaciones Metafísicas
2. Se trata de la segunda de las leyes de la transitivida de →, cuyas premisas conmutan las de la primera.