viernes, 7 de junio de 2013

Equivalencia entre cuantificaciones

Hemos visto aquí que podía, una vez introducido el cuantificador universal, intruducirse 'por definición' el existencial con la siguiente fórmula: (∃a)A ≡df ~(a)~A.

Esto significa que el universar está implicitamente definido en los axiomas mientras que el otro a partir de él. Facil resulta probar, dada la definición, que ~(∃a)A ≡ (a)~A, que (∃a)~A ≡ ~(a)A y que y ~(∃a)~A ≡ (a)A; y en todo caso lo dejaremos para el lector.

Por otra parte, en la deducciónnatural, no se introduce un por defición y otro en los axiomas. De hecho, no hay axiomas sino reglas en los cuales está implícita su definición sintáctica. Por su puesto que no se debe ni al azar ni a ninguna armonía prestablecida que las equivalencias se cumplan en este sistema, pues al elaborárselo eran condición suya. Pero veamos cómo probarlas en él.

Primero: (x)A ≡ ~(∃x)~A

1 (x)A                     sup
2 (∃x)~A                 sup
3 ~A                       sup
4 A                         E∀, 1
5 ⊥                        3 y 4
6 ~A → ⊥                T.D. (3 a 5)
7 ⊥                         E∃ (2 y 6)
8 ~(∃x)~A                 RAA (2 - 7)
9 (x)A → ~(∃x)~A      T.D. (1 a 8)

1 ~(∃x)~A             sup
2 ~A                     sup
3 (∃x)~A               I∃ 2
4 ⊥                      1 y 3
5 ~~A                    RAA (2-4)
6 A                       Dneg
7 (x)A                    I ∀
8 ~(∃x)~A → (x) A   T.D. (1 a 7)


Ahora: ~(a)~A ≡ (∃a)A

1 ~(x)~A                     sup
2 ~(∃x) A                    sup
3 A                             sup
4 (∃x) A                     I∃, 3
5 ⊥                            2 y 4
6 ~A                           RAA (3-5)
7 (x)~A                        I∀, 6
8 ⊥                            1 y 7
9 ~~(∃x) A                   RAA(2-8)
10 (∃x) A                    D.Neg
11 ~(x)~A → (∃x) A      T.D. (1 a 10)


Y los restantes pueden ser tarea del lector.

2 comentarios:

Mensajero del Arbol dijo...

Que buen blog! tratas unos temas muy interesantes :) ya te estoy siguiendo, y espero verte tambien por mi blog: arbol-de-amor.blogspot.com.ar

Saludos!!

Especulación Pura dijo...

Gracias mensajero, pasaré por tu blog a ver de qué se trata. Saludos