Equivalencia entre cuantificaciones

Hemos visto aquí que podía, una vez introducido el cuantificador universal, intruducirse 'por definición' el existencial con la siguiente fórmula: (∃a)A ≡df ~(a)~A.

Esto significa que el universar está implicitamente definido en los axiomas mientras que el otro a partir de él. Facil resulta probar, dada la definición, que ~(∃a)A ≡ (a)~A, que (∃a)~A ≡ ~(a)A y que y ~(∃a)~A ≡ (a)A; y en todo caso lo dejaremos para el lector.

Por otra parte, en la deducciónnatural, no se introduce un por defición y otro en los axiomas. De hecho, no hay axiomas sino reglas en los cuales está implícita su definición sintáctica. Por su puesto que no se debe ni al azar ni a ninguna armonía prestablecida que las equivalencias se cumplan en este sistema, pues al elaborárselo eran condición suya. Pero veamos cómo probarlas en él.

Primero: (x)A ≡ ~(∃x)~A

1 (x)A                     sup

2 (∃x)~A                 sup

3 ~A                       sup

4 A                         E∀, 1

5 ⊥                        3 y 4

6 ~A → ⊥                T.D. (3 a 5)

7 ⊥                         E∃ (2 y 6)

8 ~(∃x)~A                 RAA (2 - 7)

9 (x)A → ~(∃x)~A      T.D. (1 a 8)

1 ~(∃x)~A             sup

2 ~A                     sup

3 (∃x)~A               I∃ 2

4 ⊥                      1 y 3

5 ~~A                    RAA (2-4)

6 A                       Dneg

7 (x)A                    I ∀

8 ~(∃x)~A → (x) A   T.D. (1 a 7)

Ahora: ~(a)~A ≡ (∃a)A

1 ~(x)~A                     sup

2 ~(∃x) A                    sup

3 A                             sup

4 (∃x) A                     I∃, 3

5 ⊥                            2 y 4

6 ~A                           RAA (3-5)

7 (x)~A                        I∀, 6

8 ⊥                            1 y 7

9 ~~(∃x) A                   RAA(2-8)

10 (∃x) A                    D.Neg

11 ~(x)~A → (∃x) A      T.D. (1 a 10)

Y los restantes pueden ser tarea del lector.