La transitividad es una propiedad de algunos predicados como el de «ser descendiente de». Estos predicados forman parte del conjunto de predicados diádicos.
Podrían formularse expresiones como «María es descendiente de Ruth» y «Ruth es descendiente de Sara» por ejemplo así:
"mDr" y "rDs"
Pero ocurre que de las dos expresiones en castellano solemos concluir que María es descendiente de Sara. Sin embargo:
mDr
rDs
por lo tanto mDs
es un razonamiento inválido. ¿Debemos suponer que se trata de algún tipo de forma gramatical engañosa como de la que hablaba Russell que nos hace creer en la validez del primer agumento y se muestra falaz en el segundo? No, nada que ver.
Es la forma lógica lo que falló aquí. Podemos agregarle una nueva premisa y así poder sostener nuestra conclusión formalmente, a saber:
∀x∀y∀z(xDy ∧ yDz ⊃ xDz)
Ahora detengámosnos en la siguiente expresión:
"La impresora imprime lentamente"
Uno podría, si quisiera, formularla "Li" significando L "imprime lentamente" e "i" la impresora. Pero alguien pudiera querer descomponer la acción de la impresora en "imprimir" por un lado y "lentamente" por otro. Podría ocurrir que lo hiciera rápidamente.
La cuestión es ¿qué clase de traducción formal habremos de darle a lentamente?
La acción de imprimir, atribuida a la impresora, es un predicado. Por lo tanto puede interpretarse como denotando el conjunto de todas las cosas que imprimen, por ejemplo. "x imprime" es verdadero para todo x que esté en ese conjunto.
Con lentamente no sucede igual. Podríamos servirnos de un conjunto de objetos de los que prediquemos la lentitud en algo, inclyendo así tanto cosas que imprimiran lentamente como otras que manejaran sus autos lentamente, etc. En tal caso no habría incompatibilidad entre lo rápido y lo lento, pues pudiera serse rápido en una cosa y lenta en otra.
Por otra parte, la lentitud no es un predicado de un predicado. Por ejemplo ser un acorde. De cualquier acorde mayor y de cualequier acrode menor puede decirse que es un acorde. De cualquier trompetista, de cualquier guitarrista, que es músico (he oído de escepciones, pero en tales casos parece cuestión de uan crítica del Juicio antes que lógica). Pero no de toda impresora que imprima, que lo hace lentamente, ni de todo lo que sea lento que sea un impresora. Así, lentamente no es una clase de clases.
Lo que puede hacerse es considerala una función de predicados sobre predicados. Es decir: para cada predicado (imprime, se dirige, camina ...) tomado por argumento la función lentamente arroja como valor un predicado otro (imprime lentamente, se dirige lentamente, camina lentamente). A su vez, cada predicado que es así tomado por argumento es una función sobre elementos del universo de discurso que arroja la verdad o la falsedad (en una lógica binaria).
Así, ademas de las expresiones de elementos y de predicados (o clases de elementos), tenemos clases de clases y también adverbios. Estos último se aplican a un predicado (monádico en este caso, también podría aplicarse a uno que fuera diádico como "z desea ardientemente a y", etc.) para dar lugar o otro, como en el ejemplo, del mismo prden. Podemos anotarlo así:
L(I(i))
Hay que tener en cuenta que L e I, en el ejemplo, son dos tipos de expresiones diferentes. Así, podemos escribir:
∀xL(Ix) para "todos imprimen lentamente"
∀X(L(X(i)) para "la impresora es lenta en algo" (otra instancia de esto podría ser "la impresora escanea lentamente").
A lo que quería ir con el presente post era a que así como la transitividad hacía que tuviera que ponerse una premisa que en el lenguaje conversacional no hacía falta, aquí ocurre algo similar. Si alguien dice "la impresor imprime lentamente" sabemos que al menos imprime. Pero de
L(I(i))
no es posible concluir:
I(i)
Entonces (un problema sencillo) ¿cómo podríamos hacer para que sí se lo haga?
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