Funciones de verdad

Sea f| una función cuyo dominio sean 0 y 1, su rango también y se defina así:

f|(1,1) = 0
f|(1,0) = 1
f|(0,1) = 1
f|(0,0) = 1

Definir mediante f| las conectivas lógicas:
"~", "·", "v", "→", "≡"

Otro ejercicio de lógica

Mostrar que no hay equivalencias entre ninguno de los siguientes esquemas:

I      (x)(p ≡ Fx)

II      p ≡ (x)(Fx)
 
III   (∃x)(p ≡ Fx)
 
IV     p ≡ (∃x)(Fx)

_______
Nota:
Para este ejercicio vamos a usar un lenguaje con:

i) las letras 'p', 'q', etc. en lugar de un enunciado cualquiera (ejemplos: 'Russell es un filósofo', 'Algunos griegos son filósofos', 'el deseo es el deseo del otro', 'mi reloj no es un número') ;

ii) la letra 'x' como variable de objeto en un oración (así 'x es un auto' es verdadero de todos los autos);

iii) el cuantificador '(x)' que se lee 'para todo x';

iv) el cuantificador existencial '(∃x)' que se lee 'hay al menos un x tal que'

v) la letra de predicado F (que se lee en 'Fx' como: x es un F);

vi) la negación '~' que servirá para construir un enunciado de la forma '~ p' el cual será verdadero si y solo si el enunciado constituyente 'p' es falso;

vii) la conjunción '·' que dará lugar a enunciados de la forma 'p · q', los que serán verdaderos en el único caso en que tanto 'p' como 'q' sean ambos verdaderos;

viii) la disyunción 'v' con la que obtendremos enuciados como 'p v q' que serán verdaderos en cualquier caso, excepto en aquél en que tanto 'p' como 'q' sean falsos;

ix) la implcación material '⊃' con la que se formarán enunciados de la forma 'p ⊃ q' equivalentes a '~ p v q';

x) por último, el símbolo '≡' de la equivalencia material para enunciados como 'p ≡ q' que significan 'p si y solo si q', y pueden definirse así: (p ⊃ q) · (q ⊃ p).

Con este lenguaje podemos escribir, por ejemplo:

1) (∃x)(p · Fx)

Este enunciado será verdadero siempre que (p · Fx) sea verdadero de algún objeto, lo que a su vez tiene lugar si se interpreta a 'p' de tal manera que sea verdadero y a 'F' de tal maner aque sea verdadero de algo. Por ello, resulta equivalente a este otro enunciado:

2) p · (∃x)(Fx)

el cual, del mismo modo, será verdadero siempre que 'p' lo sea y que al menos un objeto x sea F.

Consideremos

3) (x)(p · Fx)

Dado que todo enunciado de la forma '(x)(ϕx)' equivale a '~(∃x)~(ϕx)' (pues 'Todo es ϕ' es lo mismo que 'Ninguno no es ϕ'), (3) equivale a '~(∃x) ~ (p · Fx)'. Según las leyes de De Morgan, entonces, equivale a '~(∃x)(~ p v ~ Fx)'; lo cual equivale (teniendo en cuenta lo dicho respecto de (1) y (2)) a '~[~ p v (∃x) ~ Fx]'; que, según las leyes de De Morgan equivale a 'p · ~(∃x) ~ Fx', que a su vez equivale a

4) p · (x)(Fx)

Así, (3) ≡ (4)

¿Cómo sigue la serie?

A) Todo A es B
E) Ningún A es B
I) Algún A es B
O) Algún A es no B
U) ...?

Solución al ejercicio de lógica

(1) p ≡ p

(2) ~(∃x) (~xεγ · xεα · xεß) ≡ ~(∃x) (~xεγ · xεα · xεß)

(3) ~(∃x) (xεα · xεß · ~xεγ) ≡ (x) ~(~xεγ · xεα · xεß)

(4) ~(∃x) (xεαß · ─γ) ≡ (x) [~xεγ ⊃ ~(xεα · xεß)]

(5) La clase [(αß) X ─γ] es vacía ≡ Todo es miembro de la clase (─γ * ─αß)

(6) αß X ─γ = 0 ≡ ─γ * ─αß = 1

(7) αβ—γ = 0 ≡ —γ ⊂ —(αβ)

Un ejercicio de lógica

Demuéstrese que

αβ—γ = 0 ≡ —γ ⊂ —(αβ)

partiendo de

p ≡ p

Nota

Téngase presente que:

‘xε(α X ß)’ = Dƒ ‘(x) (x ε α . x ε ß)’;

que la fórmula del producto lógico ‘α X ß’ a veces se escribe ‘αß’; y que la anteposición a una fórmula de clase de el signo ‘-‘ (o la superposición de una barra horizontal como en el ejercicio) nos dá la de su complemento. Así:

‘xε-α’ = Dƒ ‘~(xεα)’

Asimismo:

‘α = 0’ significa ‘no hay nada que sea alfa' (o sea, es un enunciado, no una fórmula de clase).

Y por último:

es también un enunciado, a saber, aquél según el cual la clase α está incluída en la clse ß.

Jean Racine. Prólogo a Atalía

Ofrecemos al lector, en este link, la traducción a cargo de Eugenio de Llaguno y Amírola del prólogo del autor a la tragedia intitulada Atalía -que, asegura su autor, según las reglas habría de haberse intitulado Joás-. Traducción que parece muy propia y muy elegante a su censor, Ignacio de Luzán, quien considera que la obra ofrece al público español "un provechoso y honesto recreo, sin los riesgos a que suelen exponer otras obras dramáticas" en febrero de 1754.