domingo, 9 de septiembre de 2012

Demostraciones formales Implicación estricta

Hace unos días, en este post, citamos un sistema lógico que figura en el libro de Hilbert y Ackermann de la bibliografía, que se caracteriza por un concepto de implicación que no es el mas frecuente. Mostraré ahora cómo puede procederse con él para demostrar algunas de las fórmulas que figuran en este post. Desde ya, de aquellas proposiciones que se demuestran en una línea figura a la derecha el esquema axiomático del que son instancias.


i) A → ¬¬A                              Esquema Axiomático 14


iii) A ∧ (A → B) → B

a) (A → B) → ((A ∧ (A → B) → A) → (A ∧ (A → B ) → B))   EA 3
b) A ∧ (A → B) → A                                                         EA 5
c) (A → B) → (A ∧ (A → B ) → B)                                 Regla IV a,b
d) ((A → B) → (A ∧ (A → B) → B)) → ((A ∧ (A → B) → (A → B)) →
     → ((A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B)))                    
                                                                                           EA3
e) ((A ∧ (A → B) → (A → B)) → ((A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B))
                                                                                   Rega I, c,d
f) A ∧ (A → B) → (A → B)                                                 EA 6
g) A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B)                             Regla I, e,f
h) A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B)) → (A ∧ (A → B) → B)    EA 4
i) A ∧ (A → B) → B                                                       Regla I g,h




iv) (A → B) → (¬B → ¬A)                     E.A. 12



v) (A → B) → ((B → C) → (A → C))        E.A. 3



vi) ¬¬¬A → ¬A                                   E.A. 15



vii) ¬A → ¬¬¬A                                      E.A. 14


viii) ¬A → ¬(A ∧ B)

a)  A ∧ B → A                                          E.A.5
b)  (A ∧ B → A) → (¬A → ¬(A ∧ B))          E.A.12
c)  ¬A → ¬(A ∧ B)                                   R.I, a, b.




xi) ¬(A ∨ B) → ¬A ∧ ¬B

a)  A → A ∨ B                                             E.A.5
b)  B → A ∨ B                                             E.A.6
c)  (A → A ∨ B) → (¬(A ∨ B) → ¬A)            E.A.12
d)  ¬(A ∨ B) → ¬A                                     Regla I, a, c
e)  (B → A ∨ B) → (¬(A ∨ B) → ¬B)              E.A.12
f)  ¬(A ∨ B) → ¬B                                       Regla I, b, e
g)  (¬(A ∨ B) → ¬A) ∧ (¬(A ∨ B) → ¬B) →
    → (¬(A ∨ B) → ¬A ∧ ¬B)                        E.A.7
h)  (¬(A ∨ B) → ¬A) ∧ (¬(A ∨ B) → ¬B)      R.II, d, f.
i)  ¬(A ∨ B) → ¬A ∧ ¬B                              R.I, g, h.

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