Hace unos días, en este post, citamos un sistema lógico que figura en el libro de Hilbert y Ackermann de la bibliografía, que se caracteriza por un concepto de implicación que no es el mas frecuente. Mostraré ahora cómo puede procederse con él para demostrar algunas de las fórmulas que figuran en este post. Desde ya, de aquellas proposiciones que se demuestran en una línea figura a la derecha el esquema axiomático del que son instancias.
i) A → ¬¬A Esquema Axiomático 14
iii) A ∧ (A → B) → B
a) (A → B) → ((A ∧ (A → B) → A) → (A ∧ (A → B ) → B)) EA 3
b) A ∧ (A → B) → A EA 5
c) (A → B) → (A ∧ (A → B ) → B) Regla IV a,b
d) ((A → B) → (A ∧ (A → B) → B)) → ((A ∧ (A → B) → (A → B)) →
→ ((A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B)))
EA3
e) ((A ∧ (A → B) → (A → B)) → ((A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B))
Rega I, c,d
f) A ∧ (A → B) → (A → B) EA 6
g) A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B) Regla I, e,f
h) A ∧ (A → B) → (A ∧ (A → B) → B)) → (A ∧ (A → B) → B) EA 4
i) A ∧ (A → B) → B Regla I g,h
iv) (A → B) → (¬B → ¬A) E.A. 12
v) (A → B) → ((B → C) → (A → C)) E.A. 3
vi) ¬¬¬A → ¬A E.A. 15
vii) ¬A → ¬¬¬A E.A. 14
viii) ¬A → ¬(A ∧ B)
a) A ∧ B → A E.A.5
b) (A ∧ B → A) → (¬A → ¬(A ∧ B)) E.A.12
c) ¬A → ¬(A ∧ B) R.I, a, b.
xi) ¬(A ∨ B) → ¬A ∧ ¬B
a) A → A ∨ B E.A.5
b) B → A ∨ B E.A.6
c) (A → A ∨ B) → (¬(A ∨ B) → ¬A) E.A.12
d) ¬(A ∨ B) → ¬A Regla I, a, c
e) (B → A ∨ B) → (¬(A ∨ B) → ¬B) E.A.12
f) ¬(A ∨ B) → ¬B Regla I, b, e
g) (¬(A ∨ B) → ¬A) ∧ (¬(A ∨ B) → ¬B) →
→ (¬(A ∨ B) → ¬A ∧ ¬B) E.A.7
h) (¬(A ∨ B) → ¬A) ∧ (¬(A ∨ B) → ¬B) R.II, d, f.
i) ¬(A ∨ B) → ¬A ∧ ¬B R.I, g, h.
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domingo, 9 de septiembre de 2012
martes, 17 de julio de 2012
Un sistema lógico de «implicación estricta»
En A survey of sybolic logic, C.I: Lewis discute el concepto de «implicación». Los lógicos suelen referirse con ese término a la noción: "el enunciado «p es verdadero y q es falso» es falso". Para Lewis, ciertos teoremas que de esto se siguen, a saber "una proposición falsa implica una cualquiera" y "una proposición verdadera es implicada por cualquier otra" parecen divergir respecto a la noción de «implica» de las inferencias habituales, y propone, en el citado libro, un sistema conforme a ella. Lo llama el sistema de Implicación Estricta¹ (que se distingue de la Implicación Material).
________________________
Ideas Primitivas
Las proposiciones son representadas por las letras: p, q, r, etc.
La negación: ¬p significa "p es falso".
La imposibilidad: ~p significa² "p es imposible", o bien "es imposible que p sea verdadero".
El producto lógico: p ⨯ q o pq significan "p es verdadero y q es verdadero"
La equivalencia es representada con el signo =Df y se usa en las definiciones.
El concepto de imposibilidad, que no petenece al -llamémoslo así- 'cálculo material', hace que el sistema esté provisto no de dos valores de verdad (como la lógica bivalente) sino cinco. Ellos con:
(1) p "p es verdadero"
(2) ¬p "p es falso"
(3) ~p "p es imposible
(4) ¬~p "es falso que p es imposible" o sea "p es posible"
(5) ~¬p "es imposible que p sea falso" o sea "p es necesariamente verdadero"
1·01 Consistencia
p ∘ q = ¬~(pq) Df
1·02 Implicación Estricta
p ≺ q = ~(p¬q) Df
1·03 Implicación Material
p ⊂ q = ¬(p¬q) Df
1·04 Suma Lógica Estricta
p ∧ q = ~(¬p¬q) Df
(Tenga presente el lector que mientras que lo habitual es representar con '∧' la conjunción -y-, Lewis lo usa para este otro concepto aquí definido)
1·05 Suma Lógica Material
p + q = ¬(¬p¬q) Df
1·06 Equivalencia Estricta³
(p = q) = (p ≺ q)(q ≺ q) Df
1·07 Equivalencia Material
(p ≡ q) = (p ⊂ q)(q ⊂ p) Df
Así el sistema queda compuesto de dos tipos de relaciones.
Las relaciones materiales: pq, p ⊂ q, p + q, y p ≡ q.
Las relaciones estrictas: p ∘ q, p ≺ q, p ∧ q y p = q.
Hay dos definiciones que también forman parte del sistema:
3·01 pqr =def p(qr) Df
3·02 p ∘ q ∘ r =def p ∘ (qr) Df
________________________
Los postulados del sistema
1·1 pq ≺ qp
1·2 qp ≺ p
1·3 p ≺ pp
1·4 p(qr) ≺ q(pr)
1·5 p ≺ ¬(¬p)
1·6 (p ≺ q)(q ≺ r) ≺ (p ≺ r)
1·7 ~p ≺ ¬p
1·8 p ≺ q = ~q ≺ ~p
Los postulados 1·7 y 1·8 permitirán las transformaciones de relaciones materiales y estrictas.
________________________
Las operaciones que permiten derivar los teoremas a partir de los postulado son:
1. Sustitución. Cualquier proposición puede sustituirse por p, q, etc. Si p y q son proposiciones, también lo son ¬p, ~p, pq, etc. Cualquier par de expresiones relacionadas mediante el signo = pueden sustituirse la una por la otra.
2. Inferencia. Si «p» y si «p ≺ q», entonces «q». Note el lector que esta operación no es aceptada para la implicación material.
3. Producción (production). Si «p» y si «q», luego «pq».
________________________
Veamos ahora el primer ejemplo de demostración.
2·1 pq ≺ p
Partiremos del postulado 1·6, sustituyendo en él "pq/p", "qp/q" y "p/r". Lo cual nos da:
(pq ≺ qp)(qp ≺ p) ≺ (pq ≺ p)
Ahora bien los antecedentes "(pq ≺ qp)" y "(qp ≺ p)" son 1·1 y 1·2 respectivamente. Así, la regla de inferencia 2) nos permite asrtar el consecuente. Esto es representado por Lewis así:
1·6 {pq/q; qp/q; p/r}: 1·1 x 1·2 ≺ (pq ≺ p)
___________
Notas:
1. Lewis, C.I., (1928) The system of Strict Implication, p.291.
2. Lewis se excusa por usar el signo ~ con otro sentido que el propuesto en los Principia. Por mi parte, de modo semejante, lo hago por reemplazar en el presente post el signo — por ¬ para la negación.
3. He aquí un signo definido por medio de sí mismo.
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Ideas Primitivas
Las proposiciones son representadas por las letras: p, q, r, etc.
La negación: ¬p significa "p es falso".
La imposibilidad: ~p significa² "p es imposible", o bien "es imposible que p sea verdadero".
El producto lógico: p ⨯ q o pq significan "p es verdadero y q es verdadero"
La equivalencia es representada con el signo =Df y se usa en las definiciones.
El concepto de imposibilidad, que no petenece al -llamémoslo así- 'cálculo material', hace que el sistema esté provisto no de dos valores de verdad (como la lógica bivalente) sino cinco. Ellos con:
(1) p "p es verdadero"
(2) ¬p "p es falso"
(3) ~p "p es imposible
(4) ¬~p "es falso que p es imposible" o sea "p es posible"
(5) ~¬p "es imposible que p sea falso" o sea "p es necesariamente verdadero"
1·01 Consistencia
p ∘ q = ¬~(pq) Df
1·02 Implicación Estricta
p ≺ q = ~(p¬q) Df
1·03 Implicación Material
p ⊂ q = ¬(p¬q) Df
1·04 Suma Lógica Estricta
p ∧ q = ~(¬p¬q) Df
(Tenga presente el lector que mientras que lo habitual es representar con '∧' la conjunción -y-, Lewis lo usa para este otro concepto aquí definido)
1·05 Suma Lógica Material
p + q = ¬(¬p¬q) Df
1·06 Equivalencia Estricta³
(p = q) = (p ≺ q)(q ≺ q) Df
1·07 Equivalencia Material
(p ≡ q) = (p ⊂ q)(q ⊂ p) Df
Así el sistema queda compuesto de dos tipos de relaciones.
Las relaciones materiales: pq, p ⊂ q, p + q, y p ≡ q.
Las relaciones estrictas: p ∘ q, p ≺ q, p ∧ q y p = q.
Hay dos definiciones que también forman parte del sistema:
3·01 pqr =def p(qr) Df
3·02 p ∘ q ∘ r =def p ∘ (qr) Df
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Los postulados del sistema
1·1 pq ≺ qp
1·2 qp ≺ p
1·3 p ≺ pp
1·4 p(qr) ≺ q(pr)
1·5 p ≺ ¬(¬p)
1·6 (p ≺ q)(q ≺ r) ≺ (p ≺ r)
1·7 ~p ≺ ¬p
1·8 p ≺ q = ~q ≺ ~p
Los postulados 1·7 y 1·8 permitirán las transformaciones de relaciones materiales y estrictas.
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Las operaciones que permiten derivar los teoremas a partir de los postulado son:
1. Sustitución. Cualquier proposición puede sustituirse por p, q, etc. Si p y q son proposiciones, también lo son ¬p, ~p, pq, etc. Cualquier par de expresiones relacionadas mediante el signo = pueden sustituirse la una por la otra.
2. Inferencia. Si «p» y si «p ≺ q», entonces «q». Note el lector que esta operación no es aceptada para la implicación material.
3. Producción (production). Si «p» y si «q», luego «pq».
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Veamos ahora el primer ejemplo de demostración.
2·1 pq ≺ p
Partiremos del postulado 1·6, sustituyendo en él "pq/p", "qp/q" y "p/r". Lo cual nos da:
(pq ≺ qp)(qp ≺ p) ≺ (pq ≺ p)
Ahora bien los antecedentes "(pq ≺ qp)" y "(qp ≺ p)" son 1·1 y 1·2 respectivamente. Así, la regla de inferencia 2) nos permite asrtar el consecuente. Esto es representado por Lewis así:
1·6 {pq/q; qp/q; p/r}: 1·1 x 1·2 ≺ (pq ≺ p)
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Notas:
1. Lewis, C.I., (1928) The system of Strict Implication, p.291.
2. Lewis se excusa por usar el signo ~ con otro sentido que el propuesto en los Principia. Por mi parte, de modo semejante, lo hago por reemplazar en el presente post el signo — por ¬ para la negación.
3. He aquí un signo definido por medio de sí mismo.
domingo, 15 de julio de 2012
Otro problema lógico
Supongamos que tenemos dos proposiciones cualesquiera.
¿Es necesario que una implique a la otra?
¿Es necesario que una implique a la otra?
martes, 1 de mayo de 2012
La implicación, la deducción y la completitud
Considérese las fórmulas siguientes:
(1) ¬ ( p1 ∧ ... ∧ pn → ¬ q) → (p1 ∧ ... ∧ pn → q)
(2) K1, ..., Kn ⊬ ¬X, entonces: K1, ..., Kn ⊢ X
Lo que se asevera en la primera de ellas es una implicación cuyo antecedente es la negación de otra implicación que afirma que una conjunción de n proposiciones 'p' implican '¬q'; y cuyo consecuente que esa misma conjunción de proposiciones implica 'q'.
Dicho de otro modo: si no se da el caso de que la clase de proposiciones p implica la negación de q, entonces implica q. Esto es un esquema válido, es decir, verdadero para cualesquiera interpretaciones de las proposiciones p y de q. Veámoslo:
Si la conjunción "p1 ∧ ... ∧ pn" tiene algún miembro cuyo calor de verdad sea lo falso, toda la conjunción lo tiene, por lo tanto el antecedente de (1) es falso, y así, (1) es necesariamente (lógicamente) verdadero, sea cual sea la valuación de q.
Si la conjunción denota lo verdadero, (1) equivale a:
¬(¬q) → q
que a su vez puede, en virtud de la ley de la doble negación, transformase en
(3) q → q
cuya validez puede parecer manifiesta. Para el lector a quien no le parezca así, hay una demostración de (3) a partir de los axiomas:
p → (q → p)
y
[p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)]
en el libro de Ivorra Castillo* (por el enfoque de las tablas de verdad llegar a su validez puede parecer más simple).
La fórmula (2) tiene alguna semejanza, quizá, con (1). En ella se afirma que si no se deduce de la clase de enunciados K el enunciado ¬X, entonces se deduce de ellos X. Sin embargo hay quedecir que no se trata de algo tan similar.
Ahora bien, es preciso distinguir '→' de '⊢' y '¬(... →...)' de '... ⊬ ...'.
Por ejemplo, si → conecta dos proposiciones, lo que tenemos es una nueva proposición, del mismo nivel que las dos primeras, la cual será verdadera siempre que no lo sea también la primera de aquellas a la vez que falsa la segunda. Este símbolo → también puede vincular dos proposiiones variables, en cuyo caso ocurre de la misma manera.
En cambio, si ⊢ vincula dos fórmulas, lo que afirma es que hay una derivación de la segunda, llamada entonces concusión, a partir de la primera, que se llama premisa. Tal relación es posible en virtud de la reglas de inferencia. Veamos por ejemplo una demostración de 'p ⊢ p':
1. p premisa
2. p Rep., 1
Lo que esto significa es que en dos pasos es posible demostrar 'p ⊢ p'. En 1 tenemos expresada la premisa de nuestro argumento y en 2 tenemos expresada la conclusión en virtud de la regla de repetición que nos permite repetir cualquier línea de la derivación (siempre y cuando, como es evidente, no se trate de un supuesto cancelado).
Ahora veamos lo siguiente:
(4) (p → q) ∨ (p → ¬q)
tenemos aquí una fórmula válida universalmente. Siempre es verdadero que se da alguno de los dos casos: una proposición arbitraria implica otra proposición arbitraria o implica su negación.
En cambio:
(5) 'p ⊢ q' o 'p ⊢ ¬q'
¿es una fórmula válida? Lo que (5) afirma es que de una premisa puede demostrarse una fórmula y si no su negación.
El lector seguramente haya pensado que eso dependerá sin duda de las posibilidades que ofrezca el sistema deductivo a que refiera ⊢. Esto lleva a otra pregunta. A saber: ¿existe uno en el cual (5) pueda ser considerado una verdad lógica?
_______
*nota: Ivorra Castillo, C. Lógica y teoría de conjuntos.
(1) ¬ ( p1 ∧ ... ∧ pn → ¬ q) → (p1 ∧ ... ∧ pn → q)
(2) K1, ..., Kn ⊬ ¬X, entonces: K1, ..., Kn ⊢ X
Lo que se asevera en la primera de ellas es una implicación cuyo antecedente es la negación de otra implicación que afirma que una conjunción de n proposiciones 'p' implican '¬q'; y cuyo consecuente que esa misma conjunción de proposiciones implica 'q'.
Dicho de otro modo: si no se da el caso de que la clase de proposiciones p implica la negación de q, entonces implica q. Esto es un esquema válido, es decir, verdadero para cualesquiera interpretaciones de las proposiciones p y de q. Veámoslo:
Si la conjunción "p1 ∧ ... ∧ pn" tiene algún miembro cuyo calor de verdad sea lo falso, toda la conjunción lo tiene, por lo tanto el antecedente de (1) es falso, y así, (1) es necesariamente (lógicamente) verdadero, sea cual sea la valuación de q.
Si la conjunción denota lo verdadero, (1) equivale a:
¬(¬q) → q
que a su vez puede, en virtud de la ley de la doble negación, transformase en
(3) q → q
cuya validez puede parecer manifiesta. Para el lector a quien no le parezca así, hay una demostración de (3) a partir de los axiomas:
p → (q → p)
y
[p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)]
en el libro de Ivorra Castillo* (por el enfoque de las tablas de verdad llegar a su validez puede parecer más simple).
La fórmula (2) tiene alguna semejanza, quizá, con (1). En ella se afirma que si no se deduce de la clase de enunciados K el enunciado ¬X, entonces se deduce de ellos X. Sin embargo hay quedecir que no se trata de algo tan similar.
Ahora bien, es preciso distinguir '→' de '⊢' y '¬(... →...)' de '... ⊬ ...'.
Por ejemplo, si → conecta dos proposiciones, lo que tenemos es una nueva proposición, del mismo nivel que las dos primeras, la cual será verdadera siempre que no lo sea también la primera de aquellas a la vez que falsa la segunda. Este símbolo → también puede vincular dos proposiiones variables, en cuyo caso ocurre de la misma manera.
En cambio, si ⊢ vincula dos fórmulas, lo que afirma es que hay una derivación de la segunda, llamada entonces concusión, a partir de la primera, que se llama premisa. Tal relación es posible en virtud de la reglas de inferencia. Veamos por ejemplo una demostración de 'p ⊢ p':
1. p premisa
2. p Rep., 1
Lo que esto significa es que en dos pasos es posible demostrar 'p ⊢ p'. En 1 tenemos expresada la premisa de nuestro argumento y en 2 tenemos expresada la conclusión en virtud de la regla de repetición que nos permite repetir cualquier línea de la derivación (siempre y cuando, como es evidente, no se trate de un supuesto cancelado).
Ahora veamos lo siguiente:
(4) (p → q) ∨ (p → ¬q)
tenemos aquí una fórmula válida universalmente. Siempre es verdadero que se da alguno de los dos casos: una proposición arbitraria implica otra proposición arbitraria o implica su negación.
En cambio:
(5) 'p ⊢ q' o 'p ⊢ ¬q'
¿es una fórmula válida? Lo que (5) afirma es que de una premisa puede demostrarse una fórmula y si no su negación.
El lector seguramente haya pensado que eso dependerá sin duda de las posibilidades que ofrezca el sistema deductivo a que refiera ⊢. Esto lleva a otra pregunta. A saber: ¿existe uno en el cual (5) pueda ser considerado una verdad lógica?
_______
*nota: Ivorra Castillo, C. Lógica y teoría de conjuntos.
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