La implicación, la deducción y la completitud

Considérese las fórmulas siguientes:

(1) ¬ ( p₁ ∧ ... ∧ p_n → ¬ q)     →     (p₁ ∧ ... ∧ p_n → q)

(2)        K₁, ..., K_n ⊬ ¬X,   entonces:    K₁, ..., K_n ⊢ X

Lo que se asevera en la primera de ellas es una implicación cuyo antecedente es la negación de otra implicación que afirma que una conjunción de n proposiciones 'p' implican '¬q'; y cuyo consecuente que esa misma conjunción de proposiciones implica 'q'.

Dicho de otro modo: si no se da el caso de que la clase de proposiciones p implica la negación de q, entonces implica q. Esto es un esquema válido, es decir, verdadero para cualesquiera interpretaciones de las proposiciones p y de q. Veámoslo:

Si la conjunción "p₁ ∧ ... ∧ p_n" tiene algún miembro cuyo calor de verdad sea lo falso, toda la conjunción lo tiene, por lo tanto el antecedente de (1) es falso, y así, (1) es necesariamente (lógicamente) verdadero, sea cual sea la valuación de q.

Si la conjunción denota lo verdadero, (1) equivale a:

   ¬(¬q) → q

que a su vez puede, en virtud de la ley de la doble negación, transformase en

(3)   q → q

cuya validez puede parecer manifiesta. Para el lector a quien no le parezca así, hay una demostración de (3) a partir de los axiomas:

p → (q → p)

y

[p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)]

en el libro de Ivorra Castillo* (por el enfoque de las tablas de verdad llegar a su validez puede parecer más simple).

La fórmula (2) tiene alguna semejanza, quizá, con (1). En ella se afirma que si no se deduce de la clase de enunciados K el enunciado ¬X, entonces se deduce de ellos X. Sin embargo hay quedecir que no se trata de algo tan similar.

Ahora bien, es preciso distinguir '→' de '⊢'  y '¬(... →...)' de '... ⊬ ...'.

Por ejemplo, si → conecta dos proposiciones, lo que tenemos es una nueva proposición, del mismo nivel que las dos primeras, la cual será verdadera siempre que no lo sea también la primera de aquellas a la vez que falsa la segunda. Este símbolo → también puede vincular dos proposiiones variables, en cuyo caso ocurre de la misma manera.

En cambio, si ⊢ vincula dos fórmulas, lo que afirma es que hay una derivación de la segunda, llamada entonces concusión, a partir de la primera, que se llama premisa. Tal relación es posible en virtud de la reglas de inferencia. Veamos por ejemplo una demostración de 'p ⊢ p':

1. p    premisa
2. p    Rep., 1

Lo que esto significa es que en dos pasos es posible demostrar 'p ⊢ p'. En 1 tenemos expresada la premisa de nuestro argumento y en 2 tenemos expresada la conclusión en virtud de la regla de repetición que nos permite repetir cualquier línea de la derivación (siempre y cuando, como es evidente, no se trate de un supuesto cancelado).

Ahora veamos lo siguiente:

(4) (p → q) ∨ (p → ¬q)

tenemos aquí una fórmula válida universalmente. Siempre es verdadero que se da alguno de los dos casos: una proposición arbitraria implica otra proposición arbitraria o implica su negación.

En cambio:

(5) 'p ⊢ q' o 'p ⊢ ¬q'

¿es una fórmula válida? Lo que (5) afirma es que de una premisa puede demostrarse una fórmula y si no su negación.

El lector seguramente haya pensado que eso dependerá sin duda de las posibilidades que ofrezca el sistema deductivo a que refiera ⊢. Esto lleva a otra pregunta. A saber: ¿existe uno en el cual (5) pueda ser considerado una verdad lógica?

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*nota: Ivorra Castillo, C. Lógica y teoría de  conjuntos.