Conexiones lógicas

La lógica no siempre fue tomada como un cálculo. Por ejemplo, Aristóteles en su organon la presenta de otra manera, más vinculada con el oficio común de hablantes que los hombres solemos tener. En el cuarto capítulo de los Primeros Analíticos, por poner un ejemplo cualquiera, dice: "digámos con qué elementos, en qué ocasión y bajo qué forma se produce todo silogismo...". Está hablando de (refiriéndose a) ocasiones concretas en las que cualquiera puede encontrarse al discurrir. O, a lo sumo, que cualquiera podría representarse como habiendo ocurrido o pudiendo ocurrir.

Nada de eso pasa en el cálculo lógico. Lo tratados al respecto suelen tener claro que hay una diferencia esencial entre dos niveles en el lenguaje que se usa. Uno de ellos, el que usamos además en conversaciones mundanales, y el otro, no menos mundanal por otra parte, pero que no es apto, al menos por sí solo, para conversar. Ejemplo de éste son las fórmulas: p, q, Fx, ∀y(Fy ⊃ Gy), ∃F∀x(Fx), etc.

Esto hace que lo que en Aristóteles eran referencias a lugares en la experiencia discursiva, se haya trocado en otra cosa, a saber, un lenguaje objeto.


Así, ocurre que con las conexiones lógicas puede optarse por maneras de presentarlas. Una de ellas es refiriéndose al lenguaje y su uso común: usamos la palabra «y» cuando queremos ... etc.

Otra es introducir una definición 'sintáctica' y nada más. Es cierto que suele ser poco frecuente permanecer en una mera sintaxis. Y cuando esto es así, tal vez se deba a que se presupone cierto conocimiento semántico en el lector.

Independientemente de como sean las cosas, lo cierto es que suelen usarse determinadas 'conectivas lógicas'. En realidad no se usan todas las que podrían usarse. Por ejemplo, que yo sepa no existe una que tenga el significado de '¬p ∧ q'. El lector dirá: ¿Y para qué habría de existir si, justamente, puede escribirse '¬p ∧ q'?

Puede que tenga razón, pero si con ello expresa la idea general de que  no debe introducirse en el cálculo lógico una conectiva que pueda suplirse con otras (combinándolas), entonces tendría que decir que la misma suerte podrían correr las habituales: ∧, ∨, ⊃. No conjuntamente, pero sí es cierto que todas juntas son, por así decir, redundantes.

En efecto, Frege basó solamente en «¬» y «⊃» su sistema. Russell y Whitehead en «∨» y «¬». Tal vez sea incluso más común servirse meramente de «∧» y «¬» como Brentano. Sheffer basó todas las conexiones lógicas en el que de únicamente la barra que lleva su nombre.

Para terminar el post, un ejercicio: ¿es posible representar todas las conexiones con el solo uso de «¬» y «↔»?