Orden de los cuantificadores. Esquemas poliádicos.

Hablamos ya de prenexitud y pureza de esquemas cuantificacionames monádicos. Veamos los dos siguientes:

1. ∀x∃y(Fx → Gx ∨ Fy)
2. ∃y∀x(Fx → Gx ∨ Fy)

Puede verse en ellos que en todo son iguales, excepto por el lugar que tienen los cuantificadores. Trasformemos (1):

∀x(Fx → Gx ∨ ∃yFy)
∀x[¬Fx v (Gx ∨ ∃yFy)]
∀x(¬Fx v Gx) ∨ ∃yFy

A partir de (2) se llega al mismo resultado.

Cuando se introducen letras de predicados de más de una variable, ocurre lo siguiente:

3.  ∀x∃y Fxy
4.  ∃y∀x Fxy

Las fórmulas de arriba no afirman lo mismo. Interpretemos 'F' como que 'x' imita a 'y' en el dominio de personas y obtenemos que una fórmula afirma "todos imitan a alguien" mientras que la otra "hay alguien que es imitado por todos".

Para ver esta diferencia (que se la escucha directamente por otra parte) podemos transformar (3) y (4) de la forma siguiente:

Demos a nuestro universo de personas y cosas nombres, suponiendo que alcanza con las letras a, b, c, ..., n. Entonces, (3) puede expresrse así:

∃yFay ∧ ∃yFby ∧ ... ∧ ∃yFny

Lo cual significa que 'a imita a alguien', 'b imita a alguien', etc.

(Faa ∨ Fab ∨ ... ∨ Fan) ∧ (Fba ∨ Fbb ∨ ... ∨ Fbn) ∧ ... ∧ (Fna ∨ Fnb ∨ ... ∨ Fnn)

Esta última fórmula está compuesta de n conjunciones. La primera, a su vez, de n disyunciones que expresan que "a se imita a sí", "a imita a b", etc.; la segunda "b imita a a", "b se imita a sí", etc.

En cuanto a (4):

∀xFxa ∨ ∀xFxb ∨ ... ∨ ∀xFxn

Esto afirma: "todos imitan a a, o todos imitan a b, ..." etc. Luego:

Faa ∧ Fba ∧ ... Fna ∨ Fab ∧ Fbb ∧ ... Fnb ∨ ... ∨ Fan ∧ Fbn ∧ ... Fnn

O sea la disyunción de n conjunciones, cada una de las cuales afirma uno que es imitado por cada uno de los demás.