Cuantificaciones dentro de cuantificaciones. Esquemas cuantificacionales monádicos.

Siempre que se consideren fórmulas lógicas con predicados monádicos, es posible transformarlos de manera que los alcances de sus cuantificadores no incluyan otros cuantificadores.

Por el contrario, cuando todos sus cuantificadores se encuentran a la izquierda, la forma de una esquema recibe el adjetivo de prenexa. Ejemplo:

(i) ∃x∀y(Fx → Fx ∨ Fy).

Cuando el alcance de un cuantificacos sólo abarca estancias libres de la variable que cuantifica, se lo purifica. Ejemplo:

(ii) ∃xFx → (∀xGx → ∃xGx ∨ ∃xFx).

Veamos cómo purificar (i) y cómo darle forma prenexa a (ii).

i.1.   ∃x[Fx → ∀y(Fx ∨ Fy)]
i.2.   ∃x(Fx → Fx ∨ ∀yFy)

Ahora, antes de 'mover' el cuantificador existencial hay que trnsformar el esquema:

i.3.   ∃x[¬Fx v (Fx ∨ ∀yFy)]

lo cual es lícito debido a la definición de la implicación material.

i.4.   ∃x¬Fx v ∃x(Fx ∨ ∀yFy)

Esto último pues el cuantificador existencial se distribuye en la disyunción.

i.5.   ∃x¬Fx v ∃xFx ∨ ∀yFy

Ahora (ii). Primero cambiemos las variables para que no entren en conflicto:

ii.1   ∃xFx → [∀yGy → ∃z(Gz ∨ Fz)]

Tal y como dijimos antes, el cuantificador existencial se distribuye en la disyunción. Prestemos atención a lo que sigue. abstraigámosnos del consecuente de ii.1, llamémoslo en su conjunto 'p', entonces:

ii.2   ∃xFx → p
        ¬∃xFx v p       Def.→
        ∀x¬Fx v p      
        ∀x(¬Fx v p)   
        ∀x(Fx → p)   
Así:
ii.3   ∀x{Fx → [∀yGy → ∃z(Gz ∨ Fz)]}
ii.4   ∀x{Fx → ∃y[Gy → ∃z(Gz ∨ Fz)]}
ii.5   ∀x∃y{Fx → [Gy → ∃z(Gz ∨ Fz)]}
ii.6   ∀x∃y{Fx → ∃z[Gy → (Gz ∨ Fz)]}
ii.7   ∀x∃y∃z{Fx → [Gy → (Gz ∨ Fz)]}

Quedará ahora como ejercicio la purificación del siguiente esquema:

∀x∃y[Fx ∨ Gx → ∀z(Fz ∧ Gy ∨ Fz ∧ Gx)]