Equivalencias

Viene de acá.

Partiendo de (ii) puede obtenerse:

(iii) ~∃x [fx · (y) ~gy]

y luego

(iv) ~∃x (fx · ~∃y gy)

y

(v) (x) ~(fx · ~∃y gy)

considerando la ley de De Morgan:

(vi) (x) (~fx ∨ ∃y gy)

o sea:

(i) (x) ∃y (~fx ∨ gy)

¿Cuantas proposiciones veritativo-funcionales binarias hay?

Una variable proposicional de una función veritativa puede tener dos valores. Está excluída, siempre que nos refiramos a una lógica bivalente, toda otra posibilidad. Comunmente se los representa con los números 0 y 1.

Así, el dominio de una función veritativa binaria es un conjunto de cuatro elementos, cada uno de los cuales es un par. A saber los pares (1,1), (1,0), (0,1), (0,0).

Existen en total 16 funciones diferentes que atribuyen a cada uno de los pares mencionados alguno de los valores 0 o 1.

Para construir las funciones veritativas se utilizan las conetivas lógicas. Por ejemplo, una función binaria de este tipo es "p ∨ q" (o también Apq). Según la definición de la conectiva involucrada, la función Apq dá la siguiente tabla de verdad (que expresaremos horizontal y no verticalmente).

p:1100
q:1010
Apq:1110

Podría decirse que la letra 'p' en realidad está en la tabla sustituyendo a la función binaria 'CCpqp' (o '(p ⊃ q) ⊃ p').

Entonces ¿Cómo expresar con las conectivas lógicas habituales las 16 funciones veritativas binarias posibles que tengan por dominio {(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}?

Incompatibilidad

La respuesta a la pregunta de este post se atribuye a Sheffer (de ahí la "barra de Sheffer"). Si usamos una notación similar a la propuesta por Lukasiewicz pero para la incompatibildad (o sea la fórmula en la cual no es el caso que p y q sean ambas verdaderas) escribiendo 'Iab' para '~ (a ∧ b)', entonces podemos definir:

(i) ~ p = Ipp

(ii) p ∧ q = IIpqIpq

Con esto ya podemos facilmente definir las conectivas restantes pues, por ejemplo:
"p ∨ q = ~ ( ~q ∧ ~ p)" y
"p → q = p ∨ ~ q";
pero usando la notación propuesta:

(iii) p ∨ q = IIppIqq

(iv) p → q = IIppq

Para definir la equivalencia esto parece un poco más engorroso:

(v) p ≡ q = IIIIppqIIqqpIIIppqIIqqp

Por si resultara más claro a la lectura volvemos a escribir las definiciones pero con "p|q" para Ipq; así:

(i') Ipp = p|p
(ii') IIpqIpq = (p|q)|(p|q)
(iii') IIppIqq = (p|p)|(q|q)
(iv') IIppq = (p|p)| q
(v') IIIIppqIIqqpIIIppqIIqqp = {[(p|p)|q] | [(q|q)|p]} | {[(p|p)|q] | (q|q)|p]}

Ejercicio cuarto

¿Son equivalentes las oraciones

(i) (x) ∃y (~fx ∨ gy)

y

(ii) ~∃x (y) (fx · ~gy) ?

¿Por qué?

El ejercicio con equivalencias materiales

(viene de este post, al que remito)

Según la definición de '≡':

p ≡ q equivale a (p ⊃ q)·(q ⊃ p)

Si V(p) = 0 (o sea, la valuación de 'p' es 0), entonces tenemos que:

(⊥ ⊃ q)·(q ⊃ ⊥)

Y como cualquier condicional material cuyo antecedente sea falso es verdadero:

⊤ · (q ⊃ ⊥)

Pero en una conjunción, su valor de verdad es verdadero sólo si cada una de las proposiciones es verdadera y falso en caso contrario, así que la conjunción de una ⊤ y cualquier proposición será valuada igual que esa otra proposición, de ahí que podamos reducir a:

(q ⊃ ⊥)

Ahora bien, en una implicación material, si el consecuente es falso, entonces ella misma será veradera si su antecedente también es falso o falsa en el otro caso. Es decir, tendrá un valor contradictorio a su antecedente, por lo tanto:

~ q

Así, entonces:

'⊥ ≡ q' equivale a '~ q'

En el caso en que 'p' en 'p ≡ q' sea verdadero:

(⊤ ⊃ q)·(q ⊃ ⊤)

Cualquier condicional material cuyo consecuente sea verdadero es verdadero, por lo tanto podemos eliminar '(q ⊃ ⊤)' de la conjunción. Por otra parte, una conjunción cuyo antecedente sea verdadero será verdadera o falsa según lo sea su consecuente. Por tanto:

'(⊤ ⊃ q)·(q ⊃ ⊤)' equivaldrá a 'q'

Haciendo las transformaciones correspondientes en las cuatro expresiones del ejercicio:

si V(p)=1

I (x) (Fx)
II (x) (Fx)
III ∃x (Fx)
IV ∃x (Fx)

Donde I y II equivalen entre sí y difieran ambos tanto de III y de IV, los cuales también difieren entre sí.

si V(p)=0

I (x) (~Fx)
II ~(x) (Fx)
III ∃x (~Fx)
IV ~∃x (Fx)

Donde I difiere de II y III de IV, con lo que se vé lo que pedía el ejercicio.

Fuente: Quine, Los métodos de la lógica.

Identidad de lo indiscernible

Según Quine (ya se mencinó en otro post) el signo '=' se puede escribir así:

∀α(x ϵ α ↔ y ϵ α)

Sin embargo, si bien no lo discute (al menos en Los métodos de la logica) lo que esto presupone es que cualquier objeto es idéntico a otro siempre que comparta cada una de sus propiedades. Russell, en su introducción al Tractacus de Wittgenstein le opondría su idea de la identidad de lo indiscernible, pues bien podría suceder, dice, que dos cosas compartan todas sus propiedades y sin embargo no sean la misma. El pasaje al que hace referencia Russell es 2.0233-2.02331 del Tractacus.

Desde luego, Quine responderá (Nueva fundamentción de la lógica matemática) que en realidad lo que su fórmula afirma no es que x e y comparten sus propiedades sino que pertenecen ambos a todas las mismas clases. Y su definición parece más inobjetable cuando asevera que y también pertenece a aquella clase a la que sólo pertenece x.

¿entonces?