Variables en lugar de clases

Variables en lugar de clases

Ya vimos cómo prescindir tranquilamente de los términos singulares en un lenguaje lógico traduciendo fórmulas que involucren la letra iota a otras que no lo hagan; es decir haciendo de los enunciados que incluían en sí descripciones como su sujeto o unos con cuantificadores. Ahora nos ocuparemos con los términos generales. Los términos generales son aquellos que resultan verdaderos de una clase de objetos y que suelen ser referidos mediante letras como ‘F’, ‘G’, ‘H’, etc. Pero también pueden usarse otras letras como α, β, γ, etc., para representar clases y la letra ϵ para simbolizar ‘es un miembro de’.

Ahora bien, podría el lector escéptico preguntar con qué utilidad extender el lenguaje formal si con él sólo pudiéramos venir a representar lo mismo respecto de lo que ya estábamos en condiciones de hacerlo con los solos conceptos de validez y consistencias cuantificacionales, es decir, prescindiendo de esta simbolización de las clases, cuya suposición parece contradecir tanto a la navaja de Occam como al obispo de Berkley de maneza asaz innecesaria.

Por otra parte, habíamos inquirido por un modo de definir el concepto quineano de ‘antepasado’ (es decir, incluyendo es su extensión el individuo de cuyos antepasados se trate) a partir del solo término de ‘progenitor’. Y además podemos introducir la pregunta por la posibilidad de prescindir del signo ‘=’ y de poder reformular aquellas sentencias donde el mismo aparezca conservando su valor lógico, tales como ‘x = y’.

Con respecto a este concepto quineano de ‘antepasado’, algo que resulta es que todos los progenitores de integrantes la clase de antepasados de ‘y’ son asimismo integrantes de dicha clase, además de que el mismo ‘y’ lo es. Dado que hay una clase que, incluyendo todos los antepasados de ‘y’, no contiene sino estos mismos antepasados, entonces para ser antepasado de ‘y’ basta con pertenecer a cualquier clase que incluya a ‘y’ y a todos los progenitores de todos sus miembros, es decir, a todas estas clases. De modo que:

‘x’ pertenece a toda clase que contenga a ‘y’ y a todos los progenitores de sus miembros;

Lo que equivale a:

∀α (y ϵ α ∧ todos los progenitores de miembros de α pertenecen a α ⊃ x ϵ α)

es decir:

∀α [y ϵ α ∧ ∀z∀w(w ϵ α ∧ Fzw ⊃ z ϵ α) ⊃ x ϵ α]

Con un criterio semejante, podemos decir que si ‘x’ e ‘y’ son indénticos, entonces pertenecen cada uno a toda clase que incluya al otro.

Así, sustituimos

x = y

Y

α = β

respectivamente por:

∀α (x ϵ α ↔ y ϵ α)

y

∀x (x ϵ α ↔ x ϵ β)

De manera general, dice Quine que un enunciado cualquiera puede ser analizado a partir de los conceptos de validez o consistencia en tanto en cuanto se trate de un enunciado cuyas variables de clase han de remitir todas a cuantificadores prenexos y, además, donde los cuantificadores bajo cuyo alcance caigan las variables de clase han de ser o todos universales o todos existenciales. Si no, no podrá serlo y sus variables de clase serán irreductibles a los mencionados conceptos.