viernes, 27 de julio de 2012

Lógica, funciones de verdad, adición, producto y sustracción


Cabría preguntarse cuál es el lugar de la lógica. En una primera consideración la respuesta parece simple: su lugar es el lenguaje. La lógica es siempre inherente a algún lenguaje, tanto sea artificial o no, se dirá. ¿Pero dónde? podría insistirse. Se ha dicho¹ que su lugar es entre los juicios, entre los conceptos, etc. Así dados el juicio p: "el gato está en la alfombra" y otro: "yo no sé que p"; yo puedo decir ambos dando lugar a una conjunción. En tal caso, la única constante lógica -a cierto nivel de análisis- sería y. Pero también puedo preguntarme por otros aspectos de una afirmación en la cual se asevera algo y luego que no sé respecto de eso. Y también puede preguntarse si ello cae dentro de lo que solemos llamar lógica.

Dado que omni deteminatio est negatio, debe escogerse el modo de proceder. Es usual usar p, q, etc. para referir a proposiciones cualesquiera y ciertos signos conectivos como por ejemplo la herradura: ⊃. Se llama esto lógica proposicional (o cálculo proposicional), dado que se representan lo que se considera son vínculos lógicos entre las proposiciones. Hay otros. La lógica de predicados de primer orden (o cálculo restringido de predicados), por ejemplo, se erige sobre la base de la lógica proposicional e introduce en las proposiciones la noción de predicado relativa a individuos determinados, indeterminados o cuantificados.

Centrémosnos, una vez más, en el cálculo proposicional, (ya he escrito en el blog, sobre el mismo tema, las mismas cuestiones). Las letras que representan variables proposicionales no representan proposiciones cualesquiera. O mejor dicho, sí lo hacen. Pero el aparato de la lógica sólo se ve concernido con cierto par de cualidades inherente a -según se cree- toda proposición, que son mutuamente excluyentes.

Consideremos las dos frases: "En cambio tú, como eres erudito², nunca dices lo mismo sobre los mismos temas" y "Sí, Hipias, y, lo que es más sorprendente todavía, no sólo digo las mismas cosas siempre, sino que sigo hablando de los mismos tópicos"³.

Facilmente se ve que no son la misma frase. Se diferencian, por ejemplo, en que una habla de la segunda persona, mientras que la otra de la primera. Claro que no es la única diferencia. Pero tienen cosas en común: ambas forman parte de un diálogo -el mismo- ambas remiten a otro fragmento de ese mismo diálogo, ambas son atribuidas a Sócrates, ambas son una (y la misma) respuesta a una pregunta, ambas son afirmaciones, etc.

Podríamos, si quisiéramos, representarlas con las letras A y B. Ahora bien, si escribimos, como los lógicos: A ∧ B, entonces estamos abstrayéndonos respecto de todo lo que diferencia o no a estas frases con la sola excepción de las mentadas dos cualidades: la vedad o la falsedad, que suelen ser representada mediante los números, naturales o no, 0 y 1.

Está claro que que simbolizando la respuesta socrática a Hipias citada "A ∧ B" no podremos saber si la misma es verdadera o falsa, e incluso se diría que hemos abstraído todo lo que en ella tenía valor como para que sea evocada. Este hecho a veces hace que se otorgue a la lógica un lugar marginal. Incluso para quienes un lenguaje abstracto y artificial es de suma importancia en sus actividades cotidianas, e intentan sirviéndose de él conocer algo acerca de la estructura de su referente, esto sigue siendo problemático. ¿Cómo estar seguros de si lo que se abstrayó incluye o no eso que nos permitiría tener la capacidad de discernir lo que, precisamente, era nuestra pretensión discernir? Tal asunto puede inducir a error tanto como lo hace el equivocar un signo al transcribir.

Sea como fuera, lo cierto es que la lógica abstrae las mencionadas cualidades y representa el conjunto de sus posibles combinaciones. Así, si consideramos todas las fórmulas lógicas de dos variables proposicionales (ya lo hicimos antes) tenemos 16 combinaciones. Ese número es el resultado de elevar el 2 a la 2 a la n. Es decir 2^(2^n), donde n es el número de variables proposicionales.

Es decir, se trata de 16 funciones binarias cuyo dominio es el producto cartesiano de ({0,1}⨯{0,1}) o {0,1}², a saber:

{0,1}² = {(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}

EL codominio de cada una de estas funciones es el conjunto {0,1}.

Las funciones de una sola variable proposicional tienen por dominio al conjunto {0,1} y por imagen a ese mismo conjunto. Dada la fórmula de dos a la dos a la ene, tenemos que en total son 4.

Podemos designarlas así:

f₁ = {(1,1), (0,1)}
f₂ = {(1,0), (0,0)}
f₃ = {(1,1), (0,0)}
f_ = {(1,0), (0,1)}

Una de estas cuatro funciones, la última, ha sido objeto de particular atención⁴. Es habitual que se la represente mediante los signos ¬ y ~, optaremos por ⨍_ (en lugar de ⨍₄). Con esta función y una más (pero ésta de entre las 16 binarias) se pueden representar las 16. No es una única, podemos elegir entre algunas de ellas. Por ejemplo la conjunción, a saber:

f. = {((1,1),1), ((1,0),0), ((0,1),0), ((0,0),0)}

Esta función asigna el elemento 0 a todo elemento del dominio, con la sola excepción del par (1,1).

Para obtener la función conocida como condicional o implicación material tenemos que escribir, para las proposiciones x e y (x ⊃ y):

f_(f.(x,f_(y)))

Pero ¿Cómo expresar estas dos funciones con dos de las operaciones habituales de la aritmética, la adición y el producto?

Algún tiempo atrás, había escrito sobre un post del blog eltopologico que para intentar dar cabida en un lenguaje simbólico a la paradoja de Epiménides había sentado las bases de un sistema lógico donde intervenía la resta. El caso presente difiere, pues no se pretende ahora formalizar así una proposición (paradójica o no) sino lo que ocurre entre ellas, las conectivas lógicas.

La conjunción suele llamarse, también, producto lógico, y su nombre conduce a una expresión algebraica que permite operar con ella:

f.(x,y) = x·y

Así:

f.(1,1) = 1·1 = 1
f.(1,0) = 1·0 = 0
f.(0,1) = 0·1 = 0
f.(0,0) = 0·0 = 0

También podemos representar la negación, del siguiente modo:

f_(x) = 1 − x

De modo tal que:

f_(1) = 1 − 1 = 0
f_(0) = 1 − 0 = 1

Tal era la forma que en el post citado en primer término se usaba para la negación, justamente.

Con esto, ya podemos expresar todas las fórmulas binarias de la lógica proposicional. Por ejemplo, el bicondicional (o equivalencia material), a saber: «p ↔ q».

Tenemos en cuenta a su vez esta equivalencia:

p ↔ q  ≡  (p → q) ∧ (q → p)

Pero es preciso también encontrar una expresión para la flechita, el condicional. Una de las formas (pues no la única) de dar con ella es sirviéndonos de la siguiente fórmula:

f→(x,y) = 1 − x + xy

Lo cual surge de la equivalencia entre «p → q» y «¬(p ∧ ¬q)», tal como vimos arriba. El bicondicional será entonces:

(1 − x + xy)·(1 − y + xy)

O sea:

(1 − x + xy) − y(1 − x + xy) + xy(1 − x + xy)

Es decir:

(1 − x + xy) − (y − xy + xy²) + (xy − x²y + x²y²)

Por ende:

1 − x − y + 3xy − xy² − x²y + x²y²

Pero como es fácil demostrar, en general, que:

    ∀x : x ∊ {0,1}   ⇒   x² = x

Y los argumentos posibles para la función son el 0 y el 1 y ninguno otro (cierta practicidad inherente a una lógica que excluye al tercero), podemos simplificar la fórmula de la equivalencia material:

1 − x − y + 3xy − xy − xy + xy

y así obtener:

f↔(x,y) = 1 − x − y + 2xy


(seguir leyendo)
_________
Notas:
1. Hilbert-Ackerman(1928)
2. πολυμαθής
3. Jenofonte, Recuerdos de Sócrates, Libro IV.
4. Las funciones ⨍₁ y ⨍₂ también. Se las suele llamar, respectivamente, tautología y contradicción.

jueves, 26 de julio de 2012

Los juicios analíticos y el objeto de la lógica

Conforme a lo aseverado por Kant en el Prólogo a la segunda edición de su Crítica de la Razón Pura, la metafísica -verbo al que tal vez, debemos reconocerlo, hoy en día se está habituado en menor medida- es capaz de abarcar, al menos en su certera crítica, el cabal terreno de los conocimientos que entran en su campo, y esto en una obra consumada tal "que no puede ser nunca acrecentada". Completitud que no puede menos que poner en aprietos a quienes el testigo de su legado tengan el guardar por encargo, pues no quedaría para ellos lugar otro que el de la subsunción a la égida de un nombre, por más célebre que sea. Además del problema, especulativo o no, de si es que se da la dependencia de dicha integridad respecto de la procrastinación de parte de los conservadores de su heredad en cuanto a edificar según principios remozados, o bien de una enérgica acción, acaso surgida de un tesoro tan magnánimo como el de la obra de su crítica, quizá capaz de ejercer una fuerza como sólo parece posible a un motor que en su sí mismo no ha de verificar el movimiento si es que hay alguno.

En cuanto a la lógica, ocupa ella un lugar distinto en su edificio crítico de la razón especulativa, tanto de la metafísica como el resto de las ciencias, pues sólo se trata en ella la forma del pensar en general, no pudiendo por tanto ocuparse en objeto alguno. Pero es ella la que le dá¹ el ejemplo de integridad y exhaustividad. Es cierto que se han levantado reparos ante una noción de una ciencia considerada cabal y eso en un estadío suyo que hoy sólo calificaríamos de antiguo, y que dió con su diseño en el sistema de Aristóteles. Pero ¿cómo juzgar un criterio que tuvo su lugar en un mundo donde Frege todavía no había sentado las bases de aquéllos estudios que tanto influyeron en los lógicos que lo siguieron, comenzando por Russell? Es fácil, diríase, sentenciar al respecto llevando encima el siglo XX.

Lo cual nos conduce a la fundamental distinción de los juicios entre analíticos y sintéticos, y lo que de ella se sigue en cuanto a determinación de los distintos campos de las disciplinas científicas, pues ¿debemos ver en Frege a alguien que por reintroducir una porción de la verdad lógica entre los juicios analíticos abandona por ello la recta senda de la crítica aventurándose por ello nuevamente a un retorno al viejo dogmatismo? Pero es claro que para Kant la crítica se opone al dogmatismo no al proceder dogmático². ¿Y cómo estimar entonces el juicio que prologa la crítica, donde se afirma que «nicht eine einzige metaphysische Aufgabe sein müsse, die hier nicht aufgelöst, oder zu deren Auflösung nicht wenigstens der Schlüssel dargereicht worden»³? ¿Es que acaso el vínculo entre el conjunto de Crítica de la Razón Pura y aquellos problemas que todavía no se habían (o, aún, hayan) suscitado y para los cuales en ella espera su clave  guarda proporción alguna con el del sujeto con el predicado en los juicios analíticos? ¿O lo es acaso como el que se verifica en los sintéticos? No ha de creerse que a una cuestión así se la pueda tener por marginal. Es como aquella del carácter sintético de aquellos juicios de la matemática que por obtenerse en virtud del principio de contradicción se los tuvo por analíticos, pero cuya sinteticidad  -en el decir kantiano⁴- no era en sí contradictoria pues no le parece que sólo sea analítico el juicio que se obtiene merced tal principio sino que uno que no, lo puede ser del mismo modo, siempre que otro más se encuentre entre las premisas.

Lo que algunos querrían pensar que pueda ser la clave misma para que -v.g. aquellos que se han detenido en pasajes aislados contraponiendo unos con otros sin alcanzar ninguna consideración de conjunto- se dé entendimiento al juicio citado, siendo que es usual en los sistemas deductivos el contar con reglas para inferir de determinadas proposiciones compuestas, como puede serlo, por poner algún ejemplo, la disyunción de proposiciones de un mismo valor veritativo, en una caso negado, en el otro no, afectada por el signo de la negación, el conjunto cabal de todas aquellas cuya construcción sea conforma a lo que establece el lenguaje. Pero sea como fuera, es patente que ésta última noción no dice nada respecto de la analiticidad o no de las inferencias de la lógica y, en particular, aquellas que son propias del período de su estrecha vinculación con la matemática.

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Nota:
1. [A XIV]
2.[B XXXV]
3. [A XIII]
4. [B 14] Cf. también Frege (1884) § 88.

lunes, 23 de julio de 2012

Pruebas de validez de esquemas disyuntivos

Vamos a poner en práctica el método que figura en este lugar y que es allí citado de Hilbert y Ackerman (1928). Hablar de tal forma, haciendo referencia a un praxis, no es en realidad más que una manera de decir, pues no se trata aquí de práctica ya que según las distinciones de la teoría del conocimiento kantiana, no es otra cosa que un uso especulativo de la razón, y ni si quiera técnico. Uso puro y especulativo de la facultad de conocer pues (y sin siquiera referir a objetos¹). ¿Pero uso analítico o sintético? Dejaré este último interrogante para otra oportunidad. Vayamos ahora a las fórmulas proposicionales que figuran al final del ya citado post y que son:


(i)     A → (S → A ∧ S)
(ii)    ¬¬¬A ∨ ¬¬(¬A ∨ ¬S ∨ ¬C)


Empecemos por (i), Lo primero que tenemos que hacer de llegar a una fórmula equivalente pero sin ∧ ni →. Entonces:

A → (S → ¬(¬A ∨ ¬S))
A → (¬S ∨ ¬(¬A ∨ ¬S))
¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬A ∨ ¬S))

Esta fórmula equivale a la aserción conjunta de

¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬A))

por un lado y de

¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬S))

Es decir de

¬A ∨ ¬S ∨ A

que es manifiestamente válida tanto como

¬A ∨ ¬S ∨ S

Luego (i) es válida.

Veamos ahora la otra

¬A ∨ ¬A ∨ ¬S ∨ ¬C

Esta fórmula no es deductible en el método en cuestión, por tanto no es válida.

Ahora el primer ejercicio:

(1)     ¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

Esta fórmula es deductible a partir de

*   ¬(¬A) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

y de

**  ¬(B) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

de * obtenemos:

A ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

que a su vez es deductible a partir de

***     A ∨ ¬(C) ∨ C ∨ B

y de

****    A ∨ ¬(A) ∨ C ∨ B

de acuerdo a la regla (b). Ambas, *** y **** son fórmulas elementales. Ahora resta por probar **, a partir de la cual obtenemos las dos a partir de las cuales es deductible:

#   ¬B ∨ ¬(C) ∨ C ∨ B

y

#  ¬(B) ∨ ¬(A) ∨ C ∨ B

Ambas son evidentemente válidas, luego (1) lo era, quod erad demonstrandum.

_____________________
1. Nota: Muy bien, Frege quizá expresaría su protesta ante esto. Lo que no parece, de todas formas, es que se trate de una mera cuestión de palabras (Cf. Frege Los fundamentos de la aritmética, § 89).

jueves, 19 de julio de 2012

Algunas demostraciones más sin el tercero excluído

Ya habíamos hecho, de éstas que había escritas, las primeras cuatro. Seguiremos ahora con las cuatro siguientes (nota: las reglas y las relaciones de demostrabilidad -a las que se remite, en la columna derecha, respectivamente, mediante RD. y R, y que son las que fundamentan cada uno de los pasos- pueden encontrarse en el primero de los citados, el lema L.I figura en el segundo).
 

Teorema v)        ⊢ (A → B) → ((B → C) → (A → C))

a)  A, A → B ⊢ B                                RD.6
b)  B, B → C ⊢ C                                RD.6
c)  B ⊢ (B → C) → C                           R.IV, b.
d)  A, A → B ⊢ (B → C) → C                R.II, a, c.
e)  A, A → B, B → C ⊢ C                     L.I, d.
f)  A → B, B → C, A ⊢ C                      R.I, e.
g)  A → B, B → C ⊢ A → C                   R.IV, f.
h)  A → B ⊢ (B → C) → (A → C)           R.IV, g.
i)  ⊢ (A → B) → ((B → C) → (A → C))   R.IV, g.


Teorema vi)     ⊢ ¬¬¬A → ¬A

a)  A, ¬A ⊢ ¬A                      RD.1
b)  ¬A, A ⊢ A                        RD.1
c)  A, ¬A ⊢ A                        R.I, b.
d)  A ⊢ ¬¬A                          R.V, a, c.
e)  A, ¬¬¬A ⊢ ¬¬A              L.I, d.
f)  ¬¬¬A, A ⊢ ¬¬A               R.I, e.
g)  A, ¬¬¬A ⊢ ¬¬¬A            RD.1
h)  ¬¬¬A, A ⊢ ¬¬¬A            R.I, g.
i)  ¬¬¬A ⊢ ¬A                       R.V, f, h.
j)  ⊢ ¬¬¬A → ¬A                   R.IV, i.


Teorema vii)    ⊢ ¬A → ¬¬¬A

a)  ¬A, ¬¬A ⊢ ¬¬A                  RD.1
b)  ¬¬A, ¬A ⊢ ¬A                    RD.1
c)  ¬A, ¬¬A ⊢ ¬A                    R.I, b.
d)  ¬A ⊢ ¬¬¬A                        R.V, a, c.
e)  ⊢ ¬A → ¬¬¬A                     R.IV, d.


Teorema viii)   ⊢ ¬A → ¬(A ∧ B)

a)  A ∧ B ⊢ A                            RD.3
b)  A ∧ B, ¬A ⊢ A                     L.1
c)  ¬A, A ∧ B ⊢ A                     R.I, b.
d)  A ∧ B, ¬A ⊢ ¬A                  RD.1
e)  ¬A, A ∧ B ⊢ ¬A                   R.I, d.
f)  ¬A ⊢ ¬(A ∧ B)                     R.V, c, e.

martes, 17 de julio de 2012

Un sistema lógico de «implicación estricta»

En A survey of sybolic logic, C.I: Lewis discute el concepto de «implicación». Los lógicos suelen referirse con ese término a la noción: "el enunciado «p es verdadero y q es falso» es falso". Para Lewis, ciertos teoremas que de esto se siguen, a saber "una proposición falsa implica una cualquiera" y "una proposición verdadera es implicada por cualquier otra" parecen divergir respecto a la noción de «implica» de las inferencias habituales, y propone, en el citado libro, un sistema conforme a ella. Lo llama el sistema de Implicación Estricta¹ (que se distingue de la Implicación Material).

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Ideas Primitivas

Las proposiciones son representadas por las letras: p, q, r, etc.

La negación: ¬p significa "p es falso".

La imposibilidad: ~p significa² "p es imposible", o bien "es imposible que p sea verdadero".

El producto lógico: p ⨯ q o pq significan "p es verdadero y q es verdadero"

La equivalencia es representada con el signo =Df y se usa en las definiciones.

El concepto de imposibilidad, que no petenece al -llamémoslo así- 'cálculo material', hace que el sistema esté provisto no de dos valores de verdad (como la lógica bivalente) sino cinco. Ellos con:

(1) p   "p es verdadero"
(2) ¬p  "p es falso"
(3) ~p  "p es imposible
(4) ¬~p "es falso que p es imposible" o sea "p es posible"
(5) ~¬p "es imposible que p sea falso" o sea "p es necesariamente verdadero"


1·01 Consistencia
        p ∘ q =  ¬~(pq)     Df

1·02 Implicación Estricta
        p ≺ q = ~(p¬q)      Df

1·03 Implicación Material
        p ⊂ q = ¬(p¬q)      Df

1·04 Suma Lógica Estricta
        p ∧ q = ~(¬p¬q)     Df

(Tenga presente el lector que mientras que lo habitual es representar con '∧' la conjunción -y-, Lewis lo usa para este otro concepto aquí definido)

1·05 Suma Lógica Material
        p + q = ¬(¬p¬q)     Df

1·06 Equivalencia Estricta³
   (p = q) = (p ≺ q)(q ≺ q) Df

1·07 Equivalencia Material
    (p ≡ q) = (p ⊂ q)(q ⊂ p) Df


Así el sistema queda compuesto de dos tipos de relaciones.

Las relaciones materiales: pq, p ⊂ q, p + q, y p ≡ q.

Las relaciones estrictas: p ∘ q, p ≺ q, p ∧ q y p = q.

Hay dos definiciones que también forman parte del sistema:


3·01          pqr  =def  p(qr)     Df
3·02    p ∘ q ∘ r  =def  p ∘ (qr)  Df

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Los postulados del sistema


1·1     pq  ≺  qp
1·2     qp  ≺  p
1·3     p  ≺  pp
1·4     p(qr)  ≺  q(pr)
1·5     p  ≺  ¬(¬p)
1·6     (p ≺ q)(q ≺ r)  ≺  (p ≺ r)
1·7     ~p  ≺  ¬p
1·8     p ≺ q  =  ~q ≺ ~p

Los postulados 1·7 y 1·8 permitirán las transformaciones de relaciones materiales y estrictas.

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Las operaciones que permiten derivar los teoremas a partir de los postulado son:

1. Sustitución. Cualquier proposición puede sustituirse por p, q, etc. Si p y q son proposiciones, también lo son ¬p, ~p, pq, etc. Cualquier par de expresiones relacionadas mediante el signo = pueden sustituirse la una por la otra.

2. Inferencia. Si «p» y si «p ≺ q», entonces «q». Note el lector que esta operación no es aceptada para la implicación material.

3. Producción (production). Si «p» y si «q», luego «pq».
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Veamos ahora el primer ejemplo de demostración.

2·1     pq  ≺  p

Partiremos del postulado 1·6, sustituyendo en él "pq/p", "qp/q" y "p/r". Lo cual nos da:

(pq ≺ qp)(qp ≺ p)  ≺  (pq ≺ p)

Ahora bien los antecedentes "(pq ≺ qp)" y "(qp ≺ p)" son 1·1 y 1·2 respectivamente. Así, la regla de inferencia 2) nos permite asrtar el consecuente. Esto es representado por Lewis así:

    1·6 {pq/q; qp/q; p/r}: 1·1 x 1·2 ≺ (pq ≺ p)

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Notas:
1. Lewis, C.I., (1928) The system of Strict Implication, p.291.

2. Lewis se excusa por usar el signo ~ con otro sentido que el propuesto en los Principia. Por mi parte, de modo semejante, lo hago por reemplazar en el presente post el signo — por ¬ para la negación.

3. He aquí un signo definido por medio de sí mismo.

domingo, 15 de julio de 2012

miércoles, 11 de julio de 2012

Algunas demostraciones sin el «tercero excluído»

En éste post habíamos puesto una lista de fórmulas válidas en el cálculo intuicionista, que pueden ser demostradas con el sistema deductivo que se presentó en este otro post, como un ejercicio para el lector.

A fin de alentar al lector a completar la tarea, se muestran abajo demostraciones de los primeras cuatro. Para poder leerlas remítase al segundo post citado donde figuran las "relaciones de deducibilidad" y las "reglas" (RD. y R. de la columna derecha).



TEOREMA i)      ⊢ A → ¬¬A

a)  ¬A, A ⊢ A               RD.1
b)  A, ¬A ⊢ A               R.I, a
c)  A, ¬A ⊢ ¬A             RD.1
d)  A ⊢ ¬¬A                 R.V. b, c.



TEOREMA ii)        ⊢ A → ((A → B) → B))

a)    A, A → B ⊢ B                 RD. (6)
b)    A ⊢ (A → B) → B            Regla IV, a.
c)    ⊢ A → ((A → B) → B))     Regla IV




TEOREMA iii)     ⊢ A ∧ (A → B) → B

a)  A, A → B ⊢ B                 RD.6
b)  A ∧ (A → B) ⊢ A            RD.3
c)  A ∧ (A → B) ⊢ A → B      RD.3
d)  A ∧ (A → B) ⊢ B            R.II, a, b, c.



TEOREMA iv)    ⊢ (A → B) → (¬B → ¬A)

Para este teorema demostraremos primero un Lema:

LEMA I:    si Φ ⊢ Ψ, entoces Φ, Χ ⊢ Ψ

a)  Φ ⊢ Ψ                     hipótesis
b)  Χ, Φ ⊢ Φ                 RD.1
c)  Χ, Φ ⊢ Ψ                 R.II, a, b
d)  Φ, Χ ⊢ Ψ                 R.I, c


a)  A, A → B ⊢ B                 RD.6
b)  A, A → B, ¬B ⊢ ¬B        RD.1
c)  A → B, ¬B, A ⊢ ¬B        R.I, b.
d)  A, A → B, ¬B ⊢ B           Lema I, a.
e)  A → B, ¬B, A ⊢ B           R.I, d.
f)  A → B, ¬B ⊢ ¬A             R.V, c, e.
g)  A → B ⊢ ¬B → ¬A          R.IV, f.
h)  (A → B) → (¬B → ¬A)     R.IV, g.


(Seguir leyendo)

domingo, 8 de julio de 2012

Sobre una respuesta positiva a la paradoja de Epiménides (o Eubúlides)

En siglos pasados se intentó dar una fundamentación lógica a la matemática (ejemplo de tal cosa son los «Grundlagen» de Frege y los «Principia» De Russell y Whitehead). Pero también puede intentarse dar una respuesta matemática a problemas de lógica (¿no fue eso lo que en realidad terminaron ellos por hacer? bueno, eso es otra cuestión...).

Leyendo en blogs dí con una "solución positiva" a la paradoja del mentiroso, paradoja respecto de la cual, por otra parte, yo ya había posteado acá. Se trata del blog "el topo lógico" y el link es este.

Resumiendo (el lector interesado deberá seguir el link) la propuesta es comparada allí mismo a la solución que los números imaginarios dan a ciertas ecuaciones. Y el valor de enfoques como este es que, al contrario de otros como el de Russell, no califica de sin-sentido las expresiones que generan las dificultades limitándose a arrojarlas al papelero de la historia.

Comunmente se denota la falsedad con el «0» y la verdad con el «1». Podemos pues definir:

x = V(p)
y = V(q)

Así, «x» equivale al valor de verdad de «p» e «y» al de «q».

Ahora veamos la ecuación que se propone. Para una frase «p» cualquiera, si «q» significa «p es falsa», luego:

y = 1 – x

Lo cual significa que el valor de verdad de «q» es equivalente a la unidad menos el valor de verdad de «x».

Yo diría que semanticamente sería dificil fundar esa ecuación (véase más adelante). Sin embargo, matemáticamente se cumple perfectamente que:

Si «p» es falsa, luego «x» vale «0». Así:

y = 1 – 0 = 1

y si «p» es verdadera, luego «x» vale «1». De este modo:

y = 1 – 1 = 0

En el caso concreto que nos ocupa tenemos que la "paradoja", que llamaremos «p» puede formularse así:

(p) «'p' es falsa»

por su parte, «q» es "«p» es falsa", luego (si, como dijimos "x = V(p)" y "y = V(q)"):

y = 1 - x

Pero como «p» y «q» afirman lo mismo, luego las valuaciones que hagamos de ellas deberán coincidir, entonces:

V(p) = V(q)

De este modo, si este valor es «z»:

z = 1 - z

Con lo que llegmos a:

z = 0,5

En este punto podemos mirar hacia atrás y reparar nuevamente en cómo se obtiene la ecuación: y = 1 – x

Habíamos visto dos casos: «p» es verdadero y «p» es falso. Pero luego del recorrido llegamos a este resulatado: no son los únicos dos casos posibles.

En efecto, la existencia de una proposición «p» cuyo valor mostró ser «0,5» nos lleva a rechazar el «tercero excluído» (como ocurre, por poner un ejemplo, con la lógica intuicionista).

Si «p» es nuestra proposición "ni verdadera ni falsa" de valor «x», luego (si «q» afirma que «p» es falsa; es decir, como arriba):

y = 1 - 0,5

Y como «y = x»:

0,5 = 1 - 0,5

Ahora consideremos la siguiente proposición «r»:

'p' es falsa

Podría tal vez pensarse que «r» es lo mismo que «p» (que decía también "'p' es falsa"), pero se diferncian, la menos, en que en «p» tiene lugar una autorreferencia que en «r» no.

Podemos reformular «r» así:

el valor veritativo de 'p' es igual a cero.

Como vimos, el valor veritativo de 'p' equivale a un medio, no a cero. Por ende, «r» no es verdadera. Si volvelmos a la fórmula ("y = 1 – x") llamando 'y' al valor de verdad de «r», luego:

y = 1 – 0,5 = 0,5


Esto parece conducir a lo siguiente:

La validez de la ecuación pareció surgir de que, aplicada a todos los casos, daba por resultado el valor correcto. Ahora tenemos una situación que no podíamos contemplar al principio, pues no contábamos con la posibilidad de una valor veritativo que no fuera ni 0 ni 1.

El resultado parece ser que no sólo las proposiciones autorreferentes reciben un valor distinto a 0 y 1 sino también algunas proposiciones que versen sobre proposiciones autorreferentes.

lunes, 2 de julio de 2012

Proposiciones intuicionísticamente válidas

Las siguientes proposiciones son válidas en el cálculo intuicionista:

i) A → ¬¬A

ii) A → ((A → B) → B))

iii) A ∧ (A → B) → B

iv) (A → B) → (¬B → ¬A)

v) (A → B) → ((B → C) → (A → C))

vi) ¬¬¬A → ¬A

vii) ¬A → ¬¬¬A

viii) ¬A → ¬(A ∧ B)

ix) ¬¬(A ∨ ¬A)

x) ¬(A ∨ B) → ¬A

xi) ¬(A ∨ B) → ¬A ∧ ¬B

xii) ¬A ∨ B → (A → B)

Podría demostrarse que también lo son en el cálculo proposicional "clásico". Por otra parte, las siguientes son, al contrario, válidas para la lógica clásica, pero no son demostrables en la intuicionista:

xiii) A ∨ ¬A (Ley de tercero excluído)

xiv) ¬¬A → A

xv) (¬B → ¬A) → (A → B)

xvi) ¬(A ∧ B) → ¬A ∨ ¬B

xvii) A ∨ (A → B)

xviii) (A → B) ∨ (B → A)

xix) (A → B) → ¬A ∨ B


(Seguir leyendo)

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Figura como ejercicio Nro. 14 de Hilbert-Ackermann (1928) la demostración de (i) a (xii) según el sistema intuicionista que se encuentra en este link. El resto de las proposciones podrán responderse sirviéndose de éste otro método.