En A survey of sybolic logic, C.I: Lewis discute el concepto de «implicación». Los lógicos suelen referirse con ese término a la noción: "el enunciado «p es verdadero y q es falso» es falso". Para Lewis, ciertos teoremas que de esto se siguen, a saber "una proposición falsa implica una cualquiera" y "una proposición verdadera es implicada por cualquier otra" parecen divergir respecto a la noción de «implica» de las inferencias habituales, y propone, en el citado libro, un sistema conforme a ella. Lo llama el sistema de Implicación Estricta¹ (que se distingue de la Implicación Material).
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Ideas Primitivas
Las proposiciones son representadas por las letras: p, q, r, etc.
La negación: ¬p significa "p es falso".
La imposibilidad: ~p significa² "p es imposible", o bien "es imposible que p sea verdadero".
El producto lógico: p ⨯ q o pq significan "p es verdadero y q es verdadero"
La equivalencia es representada con el signo =Df y se usa en las definiciones.
El concepto de imposibilidad, que no petenece al -llamémoslo así- 'cálculo material', hace que el sistema esté provisto no de dos valores de verdad (como la lógica bivalente) sino cinco. Ellos con:
(1) p "p es verdadero"
(2) ¬p "p es falso"
(3) ~p "p es imposible
(4) ¬~p "es falso que p es imposible" o sea "p es posible"
(5) ~¬p "es imposible que p sea falso" o sea "p es necesariamente verdadero"
1·01 Consistencia
p ∘ q = ¬~(pq) Df
1·02 Implicación Estricta
p ≺ q = ~(p¬q) Df
1·03 Implicación Material
p ⊂ q = ¬(p¬q) Df
1·04 Suma Lógica Estricta
p ∧ q = ~(¬p¬q) Df
(Tenga presente el lector que mientras que lo habitual es representar con '∧' la conjunción -y-, Lewis lo usa para este otro concepto aquí definido)
1·05 Suma Lógica Material
p + q = ¬(¬p¬q) Df
1·06 Equivalencia Estricta³
(p = q) = (p ≺ q)(q ≺ q) Df
1·07 Equivalencia Material
(p ≡ q) = (p ⊂ q)(q ⊂ p) Df
Así el sistema queda compuesto de dos tipos de relaciones.
Las relaciones materiales: pq, p ⊂ q, p + q, y p ≡ q.
Las relaciones estrictas: p ∘ q, p ≺ q, p ∧ q y p = q.
Hay dos definiciones que también forman parte del sistema:
3·01 pqr =def p(qr) Df
3·02 p ∘ q ∘ r =def p ∘ (qr) Df
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Los postulados del sistema
1·1 pq ≺ qp
1·2 qp ≺ p
1·3 p ≺ pp
1·4 p(qr) ≺ q(pr)
1·5 p ≺ ¬(¬p)
1·6 (p ≺ q)(q ≺ r) ≺ (p ≺ r)
1·7 ~p ≺ ¬p
1·8 p ≺ q = ~q ≺ ~p
Los postulados 1·7 y 1·8 permitirán las transformaciones de relaciones materiales y estrictas.
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Las operaciones que permiten derivar los teoremas a partir de los postulado son:
1. Sustitución. Cualquier proposición puede sustituirse por p, q, etc. Si p y q son proposiciones, también lo son ¬p, ~p, pq, etc. Cualquier par de expresiones relacionadas mediante el signo = pueden sustituirse la una por la otra.
2. Inferencia. Si «p» y si «p ≺ q», entonces «q». Note el lector que esta operación no es aceptada para la implicación material.
3. Producción (production). Si «p» y si «q», luego «pq».
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Veamos ahora el primer ejemplo de demostración.
2·1 pq ≺ p
Partiremos del postulado 1·6, sustituyendo en él "pq/p", "qp/q" y "p/r". Lo cual nos da:
(pq ≺ qp)(qp ≺ p) ≺ (pq ≺ p)
Ahora bien los antecedentes "(pq ≺ qp)" y "(qp ≺ p)" son 1·1 y 1·2 respectivamente. Así, la regla de inferencia 2) nos permite asrtar el consecuente. Esto es representado por Lewis así:
1·6 {pq/q; qp/q; p/r}: 1·1 x 1·2 ≺ (pq ≺ p)
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Notas:
1. Lewis, C.I., (1928) The system of Strict Implication, p.291.
2. Lewis se excusa por usar el signo ~ con otro sentido que el propuesto en los Principia. Por mi parte, de modo semejante, lo hago por reemplazar en el presente post el signo — por ¬ para la negación.
3. He aquí un signo definido por medio de sí mismo.
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