Otro sistema de «implicación estricta»

Hemos hablado ya del sistema de Lewis donde tiene cabida un concepto de implicación que no es el de la implicación material. En esta oportunidad, mencionaremos otro, distinto, que figura en hilbert-Ackermann (1928). Según los autores, no existe necesidad alguna que inexorablemente nos fuerce a introducir este tipo de implicación, pero le dedican un parágrafo por revestir la cuestión, dicen, “cierto interés filosófico”.

En este sistema, enunciados como los allí citados «si la nieve es blanca, 7 es un número primo», «si la nieve es negra, 7 es un número primo» y «si la nieve es negra 9 es número primo» no serán válidos como lo serían si la implicación fuera verdadera toda vez que su antecedente sea “la nieve es negra” o su consecuente “7 es número primo”, es decir, aquél falso y ésta verdadera.

Los caminos seguidos por los autores citados y por Lewis difieren. Por ejemplo, éste acepta la validez de fórmulas como «A → B ∨ ¬B», «A ∧ ¬A → B», «¬(B ∨ ¬B)→A» y «¬B → ¬(A ∧ ¬A)», mientras que ellos no lo hacen. Veamos sus axiomas y reglas:

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Fórmulas elementales:

(1)    φ → φ

(2)    (φ → ψ) → ((ψ → χ) → (φ → χ))

(3)    (φ → ψ) → ((χ → φ) → (χ → ψ ))

(4)    (φ →(φ → ψ)) → (φ → ψ)

(5)    φ ∧ ψ → φ

(6)    φ ∧ ψ → ψ

(7)    (φ → ψ) ∧ (φ → χ) → (φ → ψ ∧ χ )

(8)     φ → φ ∨ ψ

(9)     ψ → φ ∨ ψ

(10)   (φ → χ) ∧ (ψ → χ) → (φ ∨ ψ → χ)

(11)   φ ∧ (ψ ∨ χ) → ψ ∨ (φ ∧ χ)

(12)   (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ)

(13)   φ ∧ ¬ψ → ¬(φ → ψ)

(14)   φ → ¬¬φ

(15)   ¬¬φ → φ

Las reglas de deducción son:

I. de φ y φ → ψ se deduce ψ

II. de φ y ψ se sigue φ ∧ ψ

III. de φ y ¬φ ∨ ψ se deduce ψ

IV. de ψ y φ→(ψ→χ) se deduce ψ→χ

El lector querrá quizá ahora verificar si alguna de las fórmulas de éste post son demostrables con esto, y por qué.

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