La implicación y la validez del condicional

He aquí un par de ejercicios más de lógica proposicional, que pueden ser oportunos para continuar poniendo en práctica el método de Hilbret y Ackerman (1928). Ellos son:


((¬q ∨ p) → (t ∧ ¬m)) ∧ ¬ q

∴   ¬m ∧ ¬q

y


r ∧ ¬s → q ∨ m,

t ∧ ¬p ¬ ¬(q ∨ m),

r ∧ ¬s ∨ t ∧ ¬p,

∴   (q ∨ m) ∨ ¬(q ∨ m)

Considerando aquello de que "la implicación es la validez del condicional" veremos cómo se prueban los condicionales cuyos antecedentes estén formados por las conjunciones de las premisas (en caso de que haya más de una) y el consecuente por la conclusión.

Adoptaré, por comodidad, la siguiente notación. Para representar las variables proposicionales usaré letras como p, q, r, s, etc. Del modo habitual serán usados los signos →, ∨ y los paréntesis. Para la conjunción usaré ∧, pero en el caso en que dos letras proposionales, ej. p y q, formen una conjunción, podrán escribirse, en lugar de «p ∧ q», directamente así: «pq». En cuanto a la negación, usaré el signo ¬. Pero para indicar la negación de una proposición sola en lugar de servirme de ese símbolo colocaré sobre ella una barra horizontal. Así, en lugar de ¬p escribiré p̄. Tendré en cuenta las equivalencias «¬p̄ ≡ p», «¬¬p̄ ≡ p̄», la conmutatividad de ∨ y ∧, etc.


Veamos el primero:

((q̄∨p) → (tm̄)) ∧ q̄ 
∴   m̄q̄

Como se dijo, debemos verificar:

(a)     ((q̄∨p) → (tm̄)) ∧ q̄  →  m̄q̄

Para emplear el método mencionado debemos expresar el esquema en una forma equivalnte con sólo las letras proposicionales, la negación y la disyunción. Vamos por pasos comenzando por las conectivas de menor alcance. Apliquemos primero las leyes de De Morgan:

((q̄∨p) → ¬(t̄∨m)) ∧ q̄  →  ¬(m∨q)

Covertimos un condicional:

(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∧ q̄  →  ¬(m∨q)



Ahora nuevamente De Morgan:

¬(¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q)  →  ¬(m∨q)

Ahora el otro condicional:

¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q  ∨ ¬(m∨q)

Dado que:

¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q ∨ q̄

es válido, nos queda examinar:

*   ¬(¬(q̄∨p) ∨ ¬(t̄∨m)) ∨ q  ∨ m̄

Primero: "¬(¬(q̄∨p)) ∨ q ∨ m̄"

q̄ ∨ p ∨ q  ∨ m̄

Es fórmula elemental (y por tanto válido). Ahora:
"¬(¬(t̄∨m)) ∨ q  ∨ m̄"

O sea:

t̄ ∨ m ∨ q  ∨ m̄

Que también lo es. Por lo tanto (a) es válido.


El otro:

rs̄ → q ∨ m
tp̄ → ¬(q ∨ m)
rs̄ ∨ tp̄
∴   (q ∨ m) ∨ ¬(q ∨ m)


(b) (rs̄ → q∨m) ∧ (tp̄ → ¬(q∨m)) ∧ (rs̄ ∨ tp̄) → (q ∨ m ∨¬(q∨m))


(¬(r̄∨s) → q∨m) ∧ (¬(t̄∨p) → ¬(q∨m)) ∧ (¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p))) → (q ∨ m ∨ ¬(q∨m))

((r̄∨s ∨ q∨m) ∧ (t̄∨p ∨ ¬(q∨m)) ∧ (¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p))) → (q ∨ m ∨ ¬(q∨m))

¬(¬(r̄∨s ∨ q∨m) ∨ ¬(t̄∨p ∨ ¬(q∨m)) ∨ ¬(¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p))) → (q ∨ m ∨ ¬(q∨m))

¬(r̄∨s ∨ q∨m) ∨ ¬(t̄∨p ∨ ¬(q∨m)) ∨ ¬(¬(r̄s) ∨ ¬(t̄p)) ∨ q ∨ m ∨ ¬(q∨m)


Este esquema es válido ya que «q ∨ m ∨ ¬(q ∨ m)» lo es.
De todas formas, podríamos haber especulado de este modo: dado que cualquier condicional suyo consecuente es válido, lo es también él mismo; y como el consecuente de (b) es verdadero bajo toda interpretación de sus variables, luego (b) es una tautología, con lo que resolvíamos el ejercicio de un modo más breve.

Demostración en una lógica de 'ecuaciones'

Anteriormente se mostró una manera representar las fórmulas veritativas de la lógica proposicional. Vimos entonces que podíamos escribir:

    f_(x) = 1 − x

para la negación,

    f.(x,y) = x·y

para la conjunción,

    f→(x,y) = 1 − x + xy

para el condicional y

    f↔(x,y) = 1 − x − y + 2xy

para el bicondicional.

Para representar una disyunción escribiremos:

    fₒ(x,y) = 1 − ((1 − x)(1 − y))

Esto se justifica así: tendremos en cuanta la ley de De Morgan, a saber, «p ∨ q ≡ ¬(p̄ ∧ q̄)». Luego, si 'p' y 'q' son 'x' e 'y' respectivamente obtenemos la fórmula mencionada.




Podemos ahora hacer uso de un método 'algebraico'. Demostremos primero que "A si y sólo si A":

Como p ↔ p se representa como "1 − x − y + 2xy" (ver prueba), luego tenemos que demostrar:

 1 − x − y + 2xy = 1

ya que 1 es el único valor de verdad de toda fórmula válida, y queremos saber si tal fórmula lo es. Como p y p son la misma variable, luego x = y. Así:

1 − x − x + 2xx =
1 − 2x + 2x² =

Aplicando ∀x x²= x (ver post anterior):

1 − 2x + 2x = 1

Así, la fórmula inicial es válida.

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Lógica, funciones de verdad, adición, producto y sustracción

Cabría preguntarse cuál es el lugar de la lógica. En una primera consideración la respuesta parece simple: su lugar es el lenguaje. La lógica es siempre inherente a algún lenguaje, tanto sea artificial o no, se dirá. ¿Pero dónde? podría insistirse. Se ha dicho¹ que su lugar es entre los juicios, entre los conceptos, etc. Así dados el juicio p: "el gato está en la alfombra" y otro: "yo no sé que p"; yo puedo decir ambos dando lugar a una conjunción. En tal caso, la única constante lógica -a cierto nivel de análisis- sería y. Pero también puedo preguntarme por otros aspectos de una afirmación en la cual se asevera algo y luego que no sé respecto de eso. Y también puede preguntarse si ello cae dentro de lo que solemos llamar lógica.

Dado que omni deteminatio est negatio, debe escogerse el modo de proceder. Es usual usar p, q, etc. para referir a proposiciones cualesquiera y ciertos signos conectivos como por ejemplo la herradura: ⊃. Se llama esto lógica proposicional (o cálculo proposicional), dado que se representan lo que se considera son vínculos lógicos entre las proposiciones. Hay otros. La lógica de predicados de primer orden (o cálculo restringido de predicados), por ejemplo, se erige sobre la base de la lógica proposicional e introduce en las proposiciones la noción de predicado relativa a individuos determinados, indeterminados o cuantificados.

Centrémosnos, una vez más, en el cálculo proposicional, (ya he escrito en el blog, sobre el mismo tema, las mismas cuestiones). Las letras que representan variables proposicionales no representan proposiciones cualesquiera. O mejor dicho, sí lo hacen. Pero el aparato de la lógica sólo se ve concernido con cierto par de cualidades inherente a -según se cree- toda proposición, que son mutuamente excluyentes.

Consideremos las dos frases: "En cambio tú, como eres erudito², nunca dices lo mismo sobre los mismos temas" y "Sí, Hipias, y, lo que es más sorprendente todavía, no sólo digo las mismas cosas siempre, sino que sigo hablando de los mismos tópicos"³.

Facilmente se ve que no son la misma frase. Se diferencian, por ejemplo, en que una habla de la segunda persona, mientras que la otra de la primera. Claro que no es la única diferencia. Pero tienen cosas en común: ambas forman parte de un diálogo -el mismo- ambas remiten a otro fragmento de ese mismo diálogo, ambas son atribuidas a Sócrates, ambas son una (y la misma) respuesta a una pregunta, ambas son afirmaciones, etc.

Podríamos, si quisiéramos, representarlas con las letras A y B. Ahora bien, si escribimos, como los lógicos: A ∧ B, entonces estamos abstrayéndonos respecto de todo lo que diferencia o no a estas frases con la sola excepción de las mentadas dos cualidades: la vedad o la falsedad, que suelen ser representada mediante los números, naturales o no, 0 y 1.

Está claro que que simbolizando la respuesta socrática a Hipias citada "A ∧ B" no podremos saber si la misma es verdadera o falsa, e incluso se diría que hemos abstraído todo lo que en ella tenía valor como para que sea evocada. Este hecho a veces hace que se otorgue a la lógica un lugar marginal. Incluso para quienes un lenguaje abstracto y artificial es de suma importancia en sus actividades cotidianas, e intentan sirviéndose de él conocer algo acerca de la estructura de su referente, esto sigue siendo problemático. ¿Cómo estar seguros de si lo que se abstrayó incluye o no eso que nos permitiría tener la capacidad de discernir lo que, precisamente, era nuestra pretensión discernir? Tal asunto puede inducir a error tanto como lo hace el equivocar un signo al transcribir.

Sea como fuera, lo cierto es que la lógica abstrae las mencionadas cualidades y representa el conjunto de sus posibles combinaciones. Así, si consideramos todas las fórmulas lógicas de dos variables proposicionales (ya lo hicimos antes) tenemos 16 combinaciones. Ese número es el resultado de elevar el 2 a la 2 a la n. Es decir 2^(2^n), donde n es el número de variables proposicionales.

Es decir, se trata de 16 funciones binarias cuyo dominio es el producto cartesiano de ({0,1}⨯{0,1}) o {0,1}², a saber:

{0,1}² = {(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}

EL codominio de cada una de estas funciones es el conjunto {0,1}.

Las funciones de una sola variable proposicional tienen por dominio al conjunto {0,1} y por imagen a ese mismo conjunto. Dada la fórmula de dos a la dos a la ene, tenemos que en total son 4.

Podemos designarlas así:

f₁ = {(1,1), (0,1)}
f₂ = {(1,0), (0,0)}
f₃ = {(1,1), (0,0)}
f_ = {(1,0), (0,1)}

Una de estas cuatro funciones, la última, ha sido objeto de particular atención⁴. Es habitual que se la represente mediante los signos ¬ y ~, optaremos por ⨍_ (en lugar de ⨍₄). Con esta función y una más (pero ésta de entre las 16 binarias) se pueden representar las 16. No es una única, podemos elegir entre algunas de ellas. Por ejemplo la conjunción, a saber:

f. = {((1,1),1), ((1,0),0), ((0,1),0), ((0,0),0)}

Esta función asigna el elemento 0 a todo elemento del dominio, con la sola excepción del par (1,1).

Para obtener la función conocida como condicional o implicación material tenemos que escribir, para las proposiciones x e y (x ⊃ y):

f_(f.(x,f_(y)))

Pero ¿Cómo expresar estas dos funciones con dos de las operaciones habituales de la aritmética, la adición y el producto?

Algún tiempo atrás, había escrito sobre un post del blog eltopologico que para intentar dar cabida en un lenguaje simbólico a la paradoja de Epiménides había sentado las bases de un sistema lógico donde intervenía la resta. El caso presente difiere, pues no se pretende ahora formalizar así una proposición (paradójica o no) sino lo que ocurre entre ellas, las conectivas lógicas.

La conjunción suele llamarse, también, producto lógico, y su nombre conduce a una expresión algebraica que permite operar con ella:

f.(x,y) = x·y

Así:

f.(1,1) = 1·1 = 1
f.(1,0) = 1·0 = 0
f.(0,1) = 0·1 = 0
f.(0,0) = 0·0 = 0

También podemos representar la negación, del siguiente modo:

f_(x) = 1 − x

De modo tal que:

f_(1) = 1 − 1 = 0
f_(0) = 1 − 0 = 1

Tal era la forma que en el post citado en primer término se usaba para la negación, justamente.

Con esto, ya podemos expresar todas las fórmulas binarias de la lógica proposicional. Por ejemplo, el bicondicional (o equivalencia material), a saber: «p ↔ q».

Tenemos en cuenta a su vez esta equivalencia:

p ↔ q  ≡  (p → q) ∧ (q → p)

Pero es preciso también encontrar una expresión para la flechita, el condicional. Una de las formas (pues no la única) de dar con ella es sirviéndonos de la siguiente fórmula:

f→(x,y) = 1 − x + xy

Lo cual surge de la equivalencia entre «p → q» y «¬(p ∧ ¬q)», tal como vimos arriba. El bicondicional será entonces:

(1 − x + xy)·(1 − y + xy)

O sea:

(1 − x + xy) − y(1 − x + xy) + xy(1 − x + xy)

Es decir:

(1 − x + xy) − (y − xy + xy²) + (xy − x²y + x²y²)

Por ende:

1 − x − y + 3xy − xy² − x²y + x²y²

Pero como es fácil demostrar, en general, que:

    ∀x : x ∊ {0,1}   ⇒   x² = x

Y los argumentos posibles para la función son el 0 y el 1 y ninguno otro (cierta practicidad inherente a una lógica que excluye al tercero), podemos simplificar la fórmula de la equivalencia material:

1 − x − y + 3xy − xy − xy + xy

y así obtener:

f↔(x,y) = 1 − x − y + 2xy


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Notas:
1. Hilbert-Ackerman(1928)
2. πολυμαθής
3. Jenofonte, Recuerdos de Sócrates, Libro IV.
4. Las funciones ⨍₁ y ⨍₂ también. Se las suele llamar, respectivamente, tautología y contradicción.

Los juicios analíticos y el objeto de la lógica

Conforme a lo aseverado por Kant en el Prólogo a la segunda edición de su Crítica de la Razón Pura, la metafísica -verbo al que tal vez, debemos reconocerlo, hoy en día se está habituado en menor medida- es capaz de abarcar, al menos en su certera crítica, el cabal terreno de los conocimientos que entran en su campo, y esto en una obra consumada tal "que no puede ser nunca acrecentada". Completitud que no puede menos que poner en aprietos a quienes el testigo de su legado tengan el guardar por encargo, pues no quedaría para ellos lugar otro que el de la subsunción a la égida de un nombre, por más célebre que sea. Además del problema, especulativo o no, de si es que se da la dependencia de dicha integridad respecto de la procrastinación de parte de los conservadores de su heredad en cuanto a edificar según principios remozados, o bien de una enérgica acción, acaso surgida de un tesoro tan magnánimo como el de la obra de su crítica, quizá capaz de ejercer una fuerza como sólo parece posible a un motor que en su sí mismo no ha de verificar el movimiento si es que hay alguno.

En cuanto a la lógica, ocupa ella un lugar distinto en su edificio crítico de la razón especulativa, tanto de la metafísica como el resto de las ciencias, pues sólo se trata en ella la forma del pensar en general, no pudiendo por tanto ocuparse en objeto alguno. Pero es ella la que le dá¹ el ejemplo de integridad y exhaustividad. Es cierto que se han levantado reparos ante una noción de una ciencia considerada cabal y eso en un estadío suyo que hoy sólo calificaríamos de antiguo, y que dió con su diseño en el sistema de Aristóteles. Pero ¿cómo juzgar un criterio que tuvo su lugar en un mundo donde Frege todavía no había sentado las bases de aquéllos estudios que tanto influyeron en los lógicos que lo siguieron, comenzando por Russell? Es fácil, diríase, sentenciar al respecto llevando encima el siglo XX.

Lo cual nos conduce a la fundamental distinción de los juicios entre analíticos y sintéticos, y lo que de ella se sigue en cuanto a determinación de los distintos campos de las disciplinas científicas, pues ¿debemos ver en Frege a alguien que por reintroducir una porción de la verdad lógica entre los juicios analíticos abandona por ello la recta senda de la crítica aventurándose por ello nuevamente a un retorno al viejo dogmatismo? Pero es claro que para Kant la crítica se opone al dogmatismo no al proceder dogmático². ¿Y cómo estimar entonces el juicio que prologa la crítica, donde se afirma que «nicht eine einzige metaphysische Aufgabe sein müsse, die hier nicht aufgelöst, oder zu deren Auflösung nicht wenigstens der Schlüssel dargereicht worden»³? ¿Es que acaso el vínculo entre el conjunto de Crítica de la Razón Pura y aquellos problemas que todavía no se habían (o, aún, hayan) suscitado y para los cuales en ella espera su clave  guarda proporción alguna con el del sujeto con el predicado en los juicios analíticos? ¿O lo es acaso como el que se verifica en los sintéticos? No ha de creerse que a una cuestión así se la pueda tener por marginal. Es como aquella del carácter sintético de aquellos juicios de la matemática que por obtenerse en virtud del principio de contradicción se los tuvo por analíticos, pero cuya sinteticidad  -en el decir kantiano⁴- no era en sí contradictoria pues no le parece que sólo sea analítico el juicio que se obtiene merced tal principio sino que uno que no, lo puede ser del mismo modo, siempre que otro más se encuentre entre las premisas.

Lo que algunos querrían pensar que pueda ser la clave misma para que -v.g. aquellos que se han detenido en pasajes aislados contraponiendo unos con otros sin alcanzar ninguna consideración de conjunto- se dé entendimiento al juicio citado, siendo que es usual en los sistemas deductivos el contar con reglas para inferir de determinadas proposiciones compuestas, como puede serlo, por poner algún ejemplo, la disyunción de proposiciones de un mismo valor veritativo, en una caso negado, en el otro no, afectada por el signo de la negación, el conjunto cabal de todas aquellas cuya construcción sea conforma a lo que establece el lenguaje. Pero sea como fuera, es patente que ésta última noción no dice nada respecto de la analiticidad o no de las inferencias de la lógica y, en particular, aquellas que son propias del período de su estrecha vinculación con la matemática.

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Nota:
1. [A XIV]
2.[B XXXV]
3. [A XIII]
4. [B 14] Cf. también Frege (1884) § 88.

Pruebas de validez de esquemas disyuntivos

Vamos a poner en práctica el método que figura en este lugar y que es allí citado de Hilbert y Ackerman (1928). Hablar de tal forma, haciendo referencia a un praxis, no es en realidad más que una manera de decir, pues no se trata aquí de práctica ya que según las distinciones de la teoría del conocimiento kantiana, no es otra cosa que un uso especulativo de la razón, y ni si quiera técnico. Uso puro y especulativo de la facultad de conocer pues (y sin siquiera referir a objetos¹). ¿Pero uso analítico o sintético? Dejaré este último interrogante para otra oportunidad. Vayamos ahora a las fórmulas proposicionales que figuran al final del ya citado post y que son:


(i)     A → (S → A ∧ S)
(ii)    ¬¬¬A ∨ ¬¬(¬A ∨ ¬S ∨ ¬C)


Empecemos por (i), Lo primero que tenemos que hacer de llegar a una fórmula equivalente pero sin ∧ ni →. Entonces:

A → (S → ¬(¬A ∨ ¬S))
A → (¬S ∨ ¬(¬A ∨ ¬S))
¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬A ∨ ¬S))

Esta fórmula equivale a la aserción conjunta de

¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬A))

por un lado y de

¬A ∨ ¬S ∨ ¬(¬S))

Es decir de

¬A ∨ ¬S ∨ A

que es manifiestamente válida tanto como

¬A ∨ ¬S ∨ S

Luego (i) es válida.

Veamos ahora la otra

¬A ∨ ¬A ∨ ¬S ∨ ¬C

Esta fórmula no es deductible en el método en cuestión, por tanto no es válida.

Ahora el primer ejercicio:

(1)     ¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

Esta fórmula es deductible a partir de

*   ¬(¬A) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

y de

**  ¬(B) ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

de * obtenemos:

A ∨ ¬(C ∨ A) ∨ C ∨ B

que a su vez es deductible a partir de

***     A ∨ ¬(C) ∨ C ∨ B

y de

****    A ∨ ¬(A) ∨ C ∨ B

de acuerdo a la regla (b). Ambas, *** y **** son fórmulas elementales. Ahora resta por probar **, a partir de la cual obtenemos las dos a partir de las cuales es deductible:

#   ¬B ∨ ¬(C) ∨ C ∨ B

y

#  ¬(B) ∨ ¬(A) ∨ C ∨ B

Ambas son evidentemente válidas, luego (1) lo era, quod erad demonstrandum.

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1. Nota: Muy bien, Frege quizá expresaría su protesta ante esto. Lo que no parece, de todas formas, es que se trate de una mera cuestión de palabras (Cf. Frege Los fundamentos de la aritmética, § 89).

Algunas demostraciones más sin el tercero excluído

Ya habíamos hecho, de éstas que había escritas, las primeras cuatro. Seguiremos ahora con las cuatro siguientes (nota: las reglas y las relaciones de demostrabilidad -a las que se remite, en la columna derecha, respectivamente, mediante RD. y R, y que son las que fundamentan cada uno de los pasos- pueden encontrarse en el primero de los citados, el lema L.I figura en el segundo).
 

Teorema v)        ⊢ (A → B) → ((B → C) → (A → C))

a)  A, A → B ⊢ B                                RD.6
b)  B, B → C ⊢ C                                RD.6
c)  B ⊢ (B → C) → C                           R.IV, b.
d)  A, A → B ⊢ (B → C) → C                R.II, a, c.
e)  A, A → B, B → C ⊢ C                     L.I, d.
f)  A → B, B → C, A ⊢ C                      R.I, e.
g)  A → B, B → C ⊢ A → C                   R.IV, f.
h)  A → B ⊢ (B → C) → (A → C)           R.IV, g.
i)  ⊢ (A → B) → ((B → C) → (A → C))   R.IV, g.


Teorema vi)     ⊢ ¬¬¬A → ¬A

a)  A, ¬A ⊢ ¬A                      RD.1
b)  ¬A, A ⊢ A                        RD.1
c)  A, ¬A ⊢ A                        R.I, b.
d)  A ⊢ ¬¬A                          R.V, a, c.
e)  A, ¬¬¬A ⊢ ¬¬A              L.I, d.
f)  ¬¬¬A, A ⊢ ¬¬A               R.I, e.
g)  A, ¬¬¬A ⊢ ¬¬¬A            RD.1
h)  ¬¬¬A, A ⊢ ¬¬¬A            R.I, g.
i)  ¬¬¬A ⊢ ¬A                       R.V, f, h.
j)  ⊢ ¬¬¬A → ¬A                   R.IV, i.


Teorema vii)    ⊢ ¬A → ¬¬¬A

a)  ¬A, ¬¬A ⊢ ¬¬A                  RD.1
b)  ¬¬A, ¬A ⊢ ¬A                    RD.1
c)  ¬A, ¬¬A ⊢ ¬A                    R.I, b.
d)  ¬A ⊢ ¬¬¬A                        R.V, a, c.
e)  ⊢ ¬A → ¬¬¬A                     R.IV, d.


Teorema viii)   ⊢ ¬A → ¬(A ∧ B)

a)  A ∧ B ⊢ A                            RD.3
b)  A ∧ B, ¬A ⊢ A                     L.1
c)  ¬A, A ∧ B ⊢ A                     R.I, b.
d)  A ∧ B, ¬A ⊢ ¬A                  RD.1
e)  ¬A, A ∧ B ⊢ ¬A                   R.I, d.
f)  ¬A ⊢ ¬(A ∧ B)                     R.V, c, e.