Aparatos Inteligentes y homínidos mecánicos

Este tema quizá sea un poco metafísico para mí, pero tal vez la época del año, el calor, los feriados, las reuniones, todo ello y también factores no considerados contribuyan a conducir el pensamiento más allá de los límites que tan trabajosamente quiso imponer Kant a la Razón Pura Especulativa. Razón especulativa a la que sólo estaría permitido, de acuerdo con su doctrina, trabajar con determinados conceptos y determinados objetos. Como es bien sabido, la razón práctica permite cierta extensión del campo de la razón. Pero no se trata de una extensión para la especulación sino para la praxis, detalle no menor del edificio doctrinario, que por el momento no viene al caso.

La cuestión es, pues la de la inteligencia artificial, tema que por ejemplo se trata en este u estotro post (pongo dos ejemplos, google es más generoso). Es evidente que no podría ser la controversia que despierta resuelta en un post de este blog y por mí, sin embargo escribiré al respecto, probablemente por los motivos ya aducidos.

El test de Turing (respecto del cual ya se hizo mención en el blog) lleva las cosas a una perspectiva sin duda interesante. ¿Por qué? Porque se ahorra las cuestiones ontológicas y filosóficas que suelen estar detrás de discusiones como ésta. Sin embargo, no es que no involucra dificultades.

Si una máquina es en todo como un ser inteligente, entonces es un ser inteligente. Si alguien admitiera la ley de Leibniz, esta proposición sería verdaderamente dificil de rechazar.

Las condiciones del test son si duda insuficientes para que pueda llegar a darse el antecedente, pero una versión adecuada podría satisfacer dicha condición (la de poder llegar, en caso de que se pueda, a darse el antecedente). Tal vez haya quienes no se sientan inclinados a reconocer la inteligencia en aparatos artificiales por cuestiones de fé, pero sin duda esas consideraciones son irrelevantes. Sería como discutir la espiritualidad de dichas máquinas. Dicho brevemente: si se parte de la premisa de que todo ser inteligente es natural, entonces la conclusión debe ser de que tales máquinas, por ser artificiales, no podrían tener inteligencia. El tema es prescindir de ese tipo de premisas.

Pero para no extenderme demasiado, sólo me referiré a una premisa similar a esa. Consiste en definir la inteligencia como aquella facultad humana en la cual el hombre procede como una máquina. En este caso, la situación es bien parecida, pero el resultado es el inverso.

Veámoslo de este modo: un hombre es capaz de mover determinadas partes de su cuerpo. Una maquina es capaz también de movimiento. Pero esto no implica que dicha máquina sea humana. No hay que tomar pars pro toto.

Entonces, un hombre es capaz de concebir sistemas lógicos formales, pero eso no implica que la "mente" o el psiquismo sea esa facultad suya. Por ende, que una máquina supere la facultad humana de cálculo no tiene nada más sorprendente que el hecho de que una máquina supere la capacidad de movimiento del hombre (por ejemplo, que sea más veloz, más fuerte, etc.)

Creer que debiéramos sorprendernos porque una máquina sea más avezada en el cálculo que cualquier hombre no puede sino ser el vestigio de una idea fundamentalmente biblica, la de que el hombre es el centro de la creación, a imagen y semejanza del creador, donde la inteligencia se concibe en cierto modo como prerrogativa de ambos.

Considero que esto lleva el asunto a otro aspecto. Tal vez sea esa misma superioridad de las máquinas respecto del imporfecto ser humano lo que imponga el límite infranqueable. No es que el hombre sea superior, sino todo lo contrario.

El hombre se equivoca, se engaña, desea lo imposible, se queda insatisfecho, olvida sus propósitos, se convence de ideas delirantes, le teme a fantasmas, decide ex nihilo (si bien una patología neurótica justamente inhibe esta facultad), etc., etc.

Considerando estos hechos (que no son deducibles en ningún sistema formal) la cuestión se puede ver de este modo: sólo es posible hacer un hombre artificial si el hombre ya es una máquina. Es decir si él funciona según un determinismo susceptible de cómputo. El problema es que esto nos lleva directo a la ontología: habría que negar por ejemplo la indeterminación en el campo de lo humano, el azar, etc.

Por otra parte, una cuestión de método. Si uno quiere pensar la cuestión del azar, es obvio que un enfoque 'analítico' conduce necesariamente a una petitio principii, pues el azar no puede ser una verdad de razon o necesaria, sino a lo sumo un hecho indemostrable.

El 'neutro'

El otro día escuché una argumentación similar a la siguiente:

"El español neutro es común a todos los hablados en todos países hispanoparlantes, sin rasgos propios de ninguno en particular. Dicen que para aprender neutro lo mejor es ir a Colombia, donde se habla lo más parecido al neutro."

Me hizo acordar a

"¿Este es el lugar en que el duque de Wellington pronunció aquellas palabras? -Sí, este es el lugar, pero nunca pronunció esas palabras"

Condicional de esquemas existenciales, de manera tradicional

En el post anterior se hizo una prueba de validez de "~V(G~H).V(FG) > V(FH)".

Podría haberse procedido así:

A: Todo G es H
I: Algún F es G
I: por lo tanto, Algún F es H

O sea AII de la primera figura (DARII).

Condicional de esquemas existenciales

Teníamos que comprobar la validez del siguiente esquema (usaré la letra 'V' mayúscula para el cuantificador existencial -en vez de la E invertida habitual- y el signo '>' para el condicional -en lugar de la herradura-):


(i) ~V(G~H).V(FG) > V(FH)


Primero aplicamos 'p > q' = '~p v q'


~[~V(G~H).V(FG)] v V(FH)


Luego, De Morgan a la primera parte de la disyunción:


V(G~H) v ~V(FG) v V(FH)


Ahora, dado que el existencial afirmativo se distribuye en la disyunción:


V(G~H v FH) v ~V(FG)


Lo cual se puede volver a expresar en un condicional:


V(FG) > V(G~H v FH)


Dado que la validez de un esquema existencial tiene lugar si y sólo si la tiene su corresondiente esquema de término:


FG > G~H v FH


Así, como la falsedad del antecedente implica la validez del esquema, suponemos su verdad de modo tal que cancelando las letras 'G' y 'F' de las conjunciones del consecuente:


~H v H


Lo cual es manifiestmente válido.

Validez de esquemas

Pueden llamarse enunciados de participación en una clase aquellos que resulten del uso de oraciones de la forma 'x pertenece a la clase F', o 'x ϵ F' o también 'Fx'. La letra 'F' es allí una expresión de clase. Pueden usarse las conectivas habituales para los enunciado de participación en una clase. Así, por ejemplo: 'Fx v Gx' significa que x pertenece a la clase F o a la clase G. Puede prescindirse de escribir en dichas fórmulas la variable cuando se haga uso de una sola. Nos quedaría algo como 'F v G', que Quine denomina esquemas booleanos de términos.

Si se incorporan cuantificadores existenciales a estas fórmulas de clase se obtienen fórmulas existenciales. Por ejemplo, para respresentar el enunciado "no existen unicornios azules", podemos escribir algo como:


(1) ¬∃(UA)


En (1) se prescinde del punto para representar la conjunción, pues puede adoptarse la convención de presindir de ellos en casos donde dos o más letras de téminos formen una conjunción en una fórmula de clase (aunque, como en este caso, formen parte de una fórmula existencial). También podría escribirse su equivalente:



(2) UA = 0



Donde se afirma que la clase de los unicornios azules no tiene elemento alguno. El enunciado según el cual la clase 'UxA' es no vacía puede expresarse de las siguientes formas:



∃(UA)



UA ≠ 0



Se pueden construir enuciados con estas fórmulas existenciales (los que Quine llama esquemas booleanos enunciativos). Por ejemplo:




¬∃(U) ⊃ ¬∃(UA)



¬∃(U).∃(A) ⊃ ∃(A¬U)



Los esquemas precedentes son válidos, lo cual se ve a simple vista dado que en un caso si no hay unicornios, tampoco habrá unicornios zules; y en el otro, si no hay unicornios pero hay (cosas) azules, enctonces hay azules no unicornios.



A veces no es tan facil observar la validez de un esquema. Veamos tres ejemplos de Quine:



(i) ¬∃(G¬H).∃(FG) ⊃ ∃(FH)


(ii) [¬∃(FG¬H) ⊃ ∃(F¬G)].[¬∃(F¬G) v ¬∃(F¬H)] ⊃ [¬∃(F¬GH) ⊃ ∃(FG¬H)]


(iii) [∃(FG) v ∃(FH)] ⊃ ∃[F.(G v H)]



¿Cómo mostrar la validez de estos tres esquemas? Sugerencia, convertir los esquemas para que dicha validez surja a la vista.

Asociatividad de la equivalencia material

El bicondicional sirve para escribir fórmulas como 'p ↔ q', en la cual si p y q tienen el mismo valor de verdad (son los dos verdaderos o los dos falsos) 'p ↔ q' es verdadero, y es falso si p y q tienen distintos valores de verdad. En cuanto a la constante lógica "↮", las fórmulas de la forma "... ↮ ..." son equivalentes a "¬ (... ↔ ...)".


Debido a la asociatividad del bicondicional, "(ϕ ↔ ψ) ↔ χ" y "ϕ ↔ (ψ ↔ χ)" son equivalentes. Por otra parte, "↮" también tiene dicha propiedad. En ambos casos podemos prescindir de los paréntesis.

Supongamos ahora que ϕ denota la verdad mientras que ψ y χ la falsedad (O sea: V(ϕ)=1 y V(ψ)=V(χ)=0 ).

¿Qué valuación tendrá la fórmula "ϕ ↔ ψ ↔ χ"?

¿Y "ϕ ↮ ψ ↮ χ"?

¿Son estas conectivas conmutativas?

Equivalencias

Viene de acá.

Partiendo de (ii) puede obtenerse:

(iii) ~∃x [fx · (y) ~gy]

y luego

(iv) ~∃x (fx · ~∃y gy)

y

(v) (x) ~(fx · ~∃y gy)

considerando la ley de De Morgan:

(vi) (x) (~fx ∨ ∃y gy)

o sea:

(i) (x) ∃y (~fx ∨ gy)

¿Cuantas proposiciones veritativo-funcionales binarias hay?

Una variable proposicional de una función veritativa puede tener dos valores. Está excluída, siempre que nos refiramos a una lógica bivalente, toda otra posibilidad. Comunmente se los representa con los números 0 y 1.

Así, el dominio de una función veritativa binaria es un conjunto de cuatro elementos, cada uno de los cuales es un par. A saber los pares (1,1), (1,0), (0,1), (0,0).

Existen en total 16 funciones diferentes que atribuyen a cada uno de los pares mencionados alguno de los valores 0 o 1.

Para construir las funciones veritativas se utilizan las conetivas lógicas. Por ejemplo, una función binaria de este tipo es "p ∨ q" (o también Apq). Según la definición de la conectiva involucrada, la función Apq dá la siguiente tabla de verdad (que expresaremos horizontal y no verticalmente).

p:1100
q:1010
Apq:1110

Podría decirse que la letra 'p' en realidad está en la tabla sustituyendo a la función binaria 'CCpqp' (o '(p ⊃ q) ⊃ p').

Entonces ¿Cómo expresar con las conectivas lógicas habituales las 16 funciones veritativas binarias posibles que tengan por dominio {(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}?

Incompatibilidad

La respuesta a la pregunta de este post se atribuye a Sheffer (de ahí la "barra de Sheffer"). Si usamos una notación similar a la propuesta por Lukasiewicz pero para la incompatibildad (o sea la fórmula en la cual no es el caso que p y q sean ambas verdaderas) escribiendo 'Iab' para '~ (a ∧ b)', entonces podemos definir:

(i) ~ p = Ipp

(ii) p ∧ q = IIpqIpq

Con esto ya podemos facilmente definir las conectivas restantes pues, por ejemplo:
"p ∨ q = ~ ( ~q ∧ ~ p)" y
"p → q = p ∨ ~ q";
pero usando la notación propuesta:

(iii) p ∨ q = IIppIqq

(iv) p → q = IIppq

Para definir la equivalencia esto parece un poco más engorroso:

(v) p ≡ q = IIIIppqIIqqpIIIppqIIqqp

Por si resultara más claro a la lectura volvemos a escribir las definiciones pero con "p|q" para Ipq; así:

(i') Ipp = p|p
(ii') IIpqIpq = (p|q)|(p|q)
(iii') IIppIqq = (p|p)|(q|q)
(iv') IIppq = (p|p)| q
(v') IIIIppqIIqqpIIIppqIIqqp = {[(p|p)|q] | [(q|q)|p]} | {[(p|p)|q] | (q|q)|p]}

Ejercicio cuarto

¿Son equivalentes las oraciones

(i) (x) ∃y (~fx ∨ gy)

y

(ii) ~∃x (y) (fx · ~gy) ?

¿Por qué?

El ejercicio con equivalencias materiales

(viene de este post, al que remito)

Según la definición de '≡':

p ≡ q equivale a (p ⊃ q)·(q ⊃ p)

Si V(p) = 0 (o sea, la valuación de 'p' es 0), entonces tenemos que:

(⊥ ⊃ q)·(q ⊃ ⊥)

Y como cualquier condicional material cuyo antecedente sea falso es verdadero:

⊤ · (q ⊃ ⊥)

Pero en una conjunción, su valor de verdad es verdadero sólo si cada una de las proposiciones es verdadera y falso en caso contrario, así que la conjunción de una ⊤ y cualquier proposición será valuada igual que esa otra proposición, de ahí que podamos reducir a:

(q ⊃ ⊥)

Ahora bien, en una implicación material, si el consecuente es falso, entonces ella misma será veradera si su antecedente también es falso o falsa en el otro caso. Es decir, tendrá un valor contradictorio a su antecedente, por lo tanto:

~ q

Así, entonces:

'⊥ ≡ q' equivale a '~ q'

En el caso en que 'p' en 'p ≡ q' sea verdadero:

(⊤ ⊃ q)·(q ⊃ ⊤)

Cualquier condicional material cuyo consecuente sea verdadero es verdadero, por lo tanto podemos eliminar '(q ⊃ ⊤)' de la conjunción. Por otra parte, una conjunción cuyo antecedente sea verdadero será verdadera o falsa según lo sea su consecuente. Por tanto:

'(⊤ ⊃ q)·(q ⊃ ⊤)' equivaldrá a 'q'

Haciendo las transformaciones correspondientes en las cuatro expresiones del ejercicio:

si V(p)=1

I (x) (Fx)
II (x) (Fx)
III ∃x (Fx)
IV ∃x (Fx)

Donde I y II equivalen entre sí y difieran ambos tanto de III y de IV, los cuales también difieren entre sí.

si V(p)=0

I (x) (~Fx)
II ~(x) (Fx)
III ∃x (~Fx)
IV ~∃x (Fx)

Donde I difiere de II y III de IV, con lo que se vé lo que pedía el ejercicio.

Fuente: Quine, Los métodos de la lógica.

Identidad de lo indiscernible

Según Quine (ya se mencinó en otro post) el signo '=' se puede escribir así:

∀α(x ϵ α ↔ y ϵ α)

Sin embargo, si bien no lo discute (al menos en Los métodos de la logica) lo que esto presupone es que cualquier objeto es idéntico a otro siempre que comparta cada una de sus propiedades. Russell, en su introducción al Tractacus de Wittgenstein le opondría su idea de la identidad de lo indiscernible, pues bien podría suceder, dice, que dos cosas compartan todas sus propiedades y sin embargo no sean la misma. El pasaje al que hace referencia Russell es 2.0233-2.02331 del Tractacus.

Desde luego, Quine responderá (Nueva fundamentción de la lógica matemática) que en realidad lo que su fórmula afirma no es que x e y comparten sus propiedades sino que pertenecen ambos a todas las mismas clases. Y su definición parece más inobjetable cuando asevera que y también pertenece a aquella clase a la que sólo pertenece x.

¿entonces?

Funciones de verdad

Sea f| una función cuyo dominio sean 0 y 1, su rango también y se defina así:

f|(1,1) = 0
f|(1,0) = 1
f|(0,1) = 1
f|(0,0) = 1

Definir mediante f| las conectivas lógicas:
"~", "·", "v", "→", "≡"

Otro ejercicio de lógica

Mostrar que no hay equivalencias entre ninguno de los siguientes esquemas:

I      (x)(p ≡ Fx)

II      p ≡ (x)(Fx)
 
III   (∃x)(p ≡ Fx)
 
IV     p ≡ (∃x)(Fx)

_______
Nota:
Para este ejercicio vamos a usar un lenguaje con:

i) las letras 'p', 'q', etc. en lugar de un enunciado cualquiera (ejemplos: 'Russell es un filósofo', 'Algunos griegos son filósofos', 'el deseo es el deseo del otro', 'mi reloj no es un número') ;

ii) la letra 'x' como variable de objeto en un oración (así 'x es un auto' es verdadero de todos los autos);

iii) el cuantificador '(x)' que se lee 'para todo x';

iv) el cuantificador existencial '(∃x)' que se lee 'hay al menos un x tal que'

v) la letra de predicado F (que se lee en 'Fx' como: x es un F);

vi) la negación '~' que servirá para construir un enunciado de la forma '~ p' el cual será verdadero si y solo si el enunciado constituyente 'p' es falso;

vii) la conjunción '·' que dará lugar a enunciados de la forma 'p · q', los que serán verdaderos en el único caso en que tanto 'p' como 'q' sean ambos verdaderos;

viii) la disyunción 'v' con la que obtendremos enuciados como 'p v q' que serán verdaderos en cualquier caso, excepto en aquél en que tanto 'p' como 'q' sean falsos;

ix) la implcación material '⊃' con la que se formarán enunciados de la forma 'p ⊃ q' equivalentes a '~ p v q';

x) por último, el símbolo '≡' de la equivalencia material para enunciados como 'p ≡ q' que significan 'p si y solo si q', y pueden definirse así: (p ⊃ q) · (q ⊃ p).

Con este lenguaje podemos escribir, por ejemplo:

1) (∃x)(p · Fx)

Este enunciado será verdadero siempre que (p · Fx) sea verdadero de algún objeto, lo que a su vez tiene lugar si se interpreta a 'p' de tal manera que sea verdadero y a 'F' de tal maner aque sea verdadero de algo. Por ello, resulta equivalente a este otro enunciado:

2) p · (∃x)(Fx)

el cual, del mismo modo, será verdadero siempre que 'p' lo sea y que al menos un objeto x sea F.

Consideremos

3) (x)(p · Fx)

Dado que todo enunciado de la forma '(x)(ϕx)' equivale a '~(∃x)~(ϕx)' (pues 'Todo es ϕ' es lo mismo que 'Ninguno no es ϕ'), (3) equivale a '~(∃x) ~ (p · Fx)'. Según las leyes de De Morgan, entonces, equivale a '~(∃x)(~ p v ~ Fx)'; lo cual equivale (teniendo en cuenta lo dicho respecto de (1) y (2)) a '~[~ p v (∃x) ~ Fx]'; que, según las leyes de De Morgan equivale a 'p · ~(∃x) ~ Fx', que a su vez equivale a

4) p · (x)(Fx)

Así, (3) ≡ (4)

¿Cómo sigue la serie?

A) Todo A es B
E) Ningún A es B
I) Algún A es B
O) Algún A es no B
U) ...?

Solución al ejercicio de lógica

(1) p ≡ p

(2) ~(∃x) (~xεγ · xεα · xεß) ≡ ~(∃x) (~xεγ · xεα · xεß)

(3) ~(∃x) (xεα · xεß · ~xεγ) ≡ (x) ~(~xεγ · xεα · xεß)

(4) ~(∃x) (xεαß · ─γ) ≡ (x) [~xεγ ⊃ ~(xεα · xεß)]

(5) La clase [(αß) X ─γ] es vacía ≡ Todo es miembro de la clase (─γ * ─αß)

(6) αß X ─γ = 0 ≡ ─γ * ─αß = 1

(7) αβ—γ = 0 ≡ —γ ⊂ —(αβ)

Un ejercicio de lógica

Demuéstrese que

αβ—γ = 0 ≡ —γ ⊂ —(αβ)

partiendo de

p ≡ p

Nota

Téngase presente que:

‘xε(α X ß)’ = Dƒ ‘(x) (x ε α . x ε ß)’;

que la fórmula del producto lógico ‘α X ß’ a veces se escribe ‘αß’; y que la anteposición a una fórmula de clase de el signo ‘-‘ (o la superposición de una barra horizontal como en el ejercicio) nos dá la de su complemento. Así:

‘xε-α’ = Dƒ ‘~(xεα)’

Asimismo:

‘α = 0’ significa ‘no hay nada que sea alfa' (o sea, es un enunciado, no una fórmula de clase).

Y por último:

es también un enunciado, a saber, aquél según el cual la clase α está incluída en la clse ß.

Jean Racine. Prólogo a Atalía

Ofrecemos al lector, en este link, la traducción a cargo de Eugenio de Llaguno y Amírola del prólogo del autor a la tragedia intitulada Atalía -que, asegura su autor, según las reglas habría de haberse intitulado Joás-. Traducción que parece muy propia y muy elegante a su censor, Ignacio de Luzán, quien considera que la obra ofrece al público español "un provechoso y honesto recreo, sin los riesgos a que suelen exponer otras obras dramáticas" en febrero de 1754.

El comercio en la 'cultura'

Una vez más, el término "empresario" me molesta.
SVEN NIELSEN, presidente director general de Presses de la Cité

En otro ámbito he tenido el honor, si no el placer, de perder dinero haciendo traducir los dos volúmenes monumentales del Hemingway de Carlos Baker.
ROBERT LAFFONT

(Epígrafe de La producción de la creencia de Bourdieu).

Certeza y verosimilitud

Todo el mundo sabe que el fanatismo es contrario a la argumentación. Perelman observa que es por la exclusión de todo grado de verosimilitud que no alcanza certeza por lo que se llega a este último, lo cual sería un rasgo ligado a ese otro rasgo suyo de no prestarse a la conversación y su apelación a la fuerza. Lo que, al contrario, no es tan tenido en cuenta, pero que el mismo Perelman enuncia claramente, es que el esceptisicmo, por compartir el mismo rasgo de excluir toda verosimilitud en grado inferior a la certeza (confierase Descartes y su moderno escepticismo), está también ligado al fin de las negociaciones y a las hostilidades. Abajo cito un fragmento de un texto de Quine acerca de lo que -según su certeza- puede decrise que hay, y no decirse también.

“El superpoblado universo del señor Y Griega es desagradable desde varios puntos de vista. Ofende la sensibilidad estética de quienes sabemos gustar de paisajes desérticos; pero ése no es su peor defecto. El suburbio de los posibles del señor Y Griega es un caldo de cultivo de elementos subversivos. Fijémonos, por ejemplo, en el hombre gordo posible que está en aquel umbral y en el posible flaco situado en aquel otro.

¿Son el mismo hombre posible o son dos hombres posibles?
¿Cómo podríamos decidir esta cuestión?
¿Cuántos hombres posibles hay en aquel umbral?
¿Hay más hombres posibles delgados que gordos?
¿Cuántos de ellos son iguales?
¿O acaso al ser iguales se convierten en uno solo?
¿No pueden ser iguales dos cosas posibles?
¿Equivale eso a decir que es imposible que dos cosas sean idénticas?
Por último, ¿es el concepto de identidad simplemente inaplicable a los posibles no actualizados?
Pero ¿qué sentido puede tener hablar de entidades de las que no pueda decirse significativamente que son idénticas consigo mismas y distintas las unas de las otras?
Esos elementos son prácticamente incorregibles.

Se podría hacer algún esfuerzo para rehabilitarlos mediante la terapéutica fregiana de los conceptos individuales; pero me parece que es mejor arrasar el suburbio de Y Griega y seguir adelante.”

Las descripciones singulares de Russell por Quine

Quine explica que, para evitar el uso excesio de bibliotecas (tal vez pensando meramente en algún 'mundo posible') sus temas se han coincidido y se han repetido parcialmente. Tal vez haya creído que tal propensión a la parsimonia en el uso de bibliotecas lo condujo a referirse de modo suscinto, por ejemplo en On what these is, a la teoría de las descripciones de Russell -para reducir el, según él, superpoblado mundo (posible) de Wyman-, a la cual también nos hemos refeerido en este otro post. Abajo reproduciremos la repetición referida:

“En su teoría de las llamadas descripciones singulares, Russell muestra claramente cómo podemos usar nombres aparentes sin necesidad de suponer las entidades supuestamente nombradas por ellos. Los nombres a los que se aplica directamente la teoría de Russell son nombres descriptivos comlejos como, por ejemplo, 'el autor de Waverly', 'el actual rey de Francia', 'la redonda cúpula cuadrada de Berkeley'. Russell analiza sistemáticamente esas frases como fragmentos de los enunciados completos en los que aparecen. El enunciado 'el autor de Waverly fue un poeta' se explica como un todo con la significación 'Alguien (mejor: algo) escribió Waverly y fue un poeta, y ninguna otra cosa escribió Waverly'. (La importancia de esta última clausula, la que sigue a 'y', estriba en que afirma la unicidad implícita en el artículo 'el' en la frase 'el autor de Waverly'). El enunciado 'la redonda cúpua cuadrada de Berkeley es roja' se explica como 'Algo es redondo y cuadrado y cúpula de Berkeley College y es rojo, y ninguna otra cosa es redonda y cuadrada y cúpula de Berkeler College'.

La virtud de ese análisis es que el nombre aparente, que es una frase descriptiva, queda parafraseado en el contexto como un símbolo de los llamados incompletos. Como análisis de la frase descriptiva no se ofrece ninguna expresión unificada, pero el completo enunciado que era contexto de la frase conserva toda su cuota de significación -es verdadero o falso.

(…)

'El autor de Waverly es' se explica según Russell como significando 'Alguien (o, más estrictamente algo) escribió Waverly y ninguna otra cosa escribió Waverly'. 'El autor de Waverly no es' se explica consiguientemente por la alternativa: 'O bien ninguna cosa escribió Waverly o bien dos o más cosas escribió Waverly'. Esta alternativa es falsa, pero tiene significación, y no contiene ninguna expresión que pretenda nombrar al autor de Waverly. De modo analogo se analiza el enunciado 'La redonda cúpula cuadrada de Berkeley College no es'. Con esto se echa por la borda la vieja noción de que los enunciados de no ser se destruyen a sí mismos. Cuando se analiza un enunciado de ser o de no ser mediante la teoría russelliana de las descripciones, ese enunciado deja de contener toda expresión que pretenda nombrar la entidad aducida y cuyo ser se discute, de tal modo que no puede seguir pensándose que la significatividad del enunciado presuponga el ser de aquella entidad.

Pero ¿qué hay de 'Pegaso'? Tratándose aquí de una palabra, y no de una frase descriptiva, el argumento de Russell no se aplica inmediatamente. No obstante, es fácil conseguir su aplicación. Nos basta con reformular 'Pegaso' como descripción, de cualquier modo que parezca adecuado para individualizar nuestra idea; por ejemplo: 'el caballo alado que fue capturado por Belerofonte'. Sustituyendo 'Pegaso' por esa frase descriptiva, podemos proceder a analizar los enunciados 'Pegaso es' o 'Pegaso no es' en precisa analigía con el análisis russelliano de 'El autor de Waverly es' o 'El autor de Waverly no es'.

Para poder subsumir bajo la teoría russelliana la descripción de un nombre o de un supuesto nombre de una sola palabra, tenemos naturalmente que ser capaces de traducir la palabra a un descripción. Pero ésta no es una verdadera descripción. Si la noción de Pegaso huiera sido tan oscura o tan básica que no se hubiera ofrecido ninguna posibilidad de traducción adecuada a frasedescriptiva por procedimientos habituales, habríamos podido servirnos, en todo caso, del siguiente expediente artificial y a primera vista trivial: podríamos haber apelado al atributo ser Pegaso, ex hypothesi inanalizable, irreductible y habríamos adoptado para su exresión el verbo 'ser-Pegaso' o el ergo 'pegasear'. El nombre 'Pegaso' podría entonces tratarse como derivado, e identificado en última instancia con una descripción: 'la cosa que es Pegaso', 'la cosa que pegaea'.”

Conjunción de p, q y r

Supongamos que alguien llamado McY griega dispone de tres fuentes distintas de información a las que recurre periódicamente y que hace esto con el fin de corroborar la fiabilidad de algunas referencias a hechos allí llevadas a cabo. McY griega no considera que exista alguna de esas tres fuentes de información que sea preferible a las otras en cuanto a este punto, por lo que intenta obtener mayor apoyo en ciertos enunciados en los que se atribuyan ciertas características a hechos potenciales, o a lo sumo la presencia entre los atributos del mismo de alguno en particular.

Supongamos además que lo que quiere saber McY griega es si puede aseverar como una verdad que “‘z’ es (o será) F”, es decir ‘s’, y que eso lo lleva a recurrir a sus fuentes; llamando ‘p’ a que la primer fuente A afirma que ese enunciado es verdadero, ‘q’ a la proposición que atribuye el mismo enunciado a la segunda fuente B y ‘r’ lo propio con la tercera fuente C.

Ahora, sea X, quien, teniendo una confianza mayor en una de las tres fuentes, A, diga que la información brindada por ella es verdadera, pero que tampoco es cabalmente fiable sino sólo cuando las otras dos coincidan, en estos términos “si ‘p’, y si ‘q’ y ‘r’, entonces ‘s’”. ¿Se trata aquí de una implicación material? No, en realidad se está afirmando un juicio hipotético según el cual la conjunción de los enunciados p, q y r dan una verosimilitud a “z es F” suficiente para X como para que asevere ‘s’: ‘p·q·r’ por lo tanto ‘s’; lo cual no es una implicación material. Pero en realidad para X no existe diferencia en su consideración de la fuente, siempre que precise como condición el acuerdo entre A, B y C, por más que crea que él confía más en A.

El antecedente es, en ambos casos, la conjunción que denota el común acuerdo entre A, B y C respecto de la predicación de una propiedad de ‘z’. Según las leyes de De Morgan, podría escribirse así:

¬ ( ¬p V ¬q V ¬r )

Y sería como decir que ‘s’ sólo en el caso en que no ocurra que se da cualquiera de los casos p, q, r.

Pero ¿qué ocurre con esta fórmula?

¬ ( q·r → ¬p)

Se trata de una equivalencia con respecto a la anterior:

¬ ( ¬p V ¬q V ¬r ) ↔ ¬ ( q·r → ¬p )

que el lector podrá comprobar con las tablas de verdad. Llegamos entonces a:

( q·r → ¬p ) → ¬s

Valideces

En este antiguo post nos ocupamos con cierto razonamiento pretendidamente un 'falso silogismo', pero que tal predicación nos pareció fundarse en un desconocimiento respecto del predicado al que recurría por parte de quien la emitió. Pero -sorprende que el lector (independientemente de la extensión de dicho término) no lo haya advertido- existe cierto problema en cuanto a la forma que no mencionamos.

Una forma posible sería la siguiente:

Todo A es B

j es A

por lo tanto, j es B

Este tipo de silogismo es llamado tradicionalmente categórico, y podría reformularse del siguiente modo si en lugar de 'j' se da como sujeto de la premisa menor y la conclusión “C”, que vendría a significar la clase contituida por 'j' y nadie más:

Todo A es B

Todo C es A

por lo tanto, Todo C es B

Tratándose de tres proposiciones universales afirmativas, podemos decir que se trata de un silogismo del modo AAA (BARBARA) y siendo el término medio sujeto de la premisa mayor y predicado de la menor de la primer figura.

Sin embargo, en el post citado habíamos preferido una fórmula con tres variables, tres letras de predicado que conforman seis enunciados subordinados vinculados por medio de conectivas lógicas como por ejemplo la conjunción . Si consideramos que cada letra de predicado, ya sea monádica o diádica, forma junto a su o sus varibles un enunciado podría dársele la siguiente forma:

Enunciado cuya consistencia puede verse en esta tabla:

¬(p·q·¬r)· s → ¬t V u

1 1 1 01 1 1 1 01 1 1

1 1 1 01 1 1 0 01 0 0

1 1 1 01 1 1 1 10 1 1

1 1 1 01 1 1 1 10 1 0

1 1 1 01 0 0 1 01 1 1

1 1 1 01 0 0 1 01 0 0

1 1 1 01 0 0 1 10 1 1

1 1 1 01 0 0 1 10 1 0

0 1 1 10 0 1 1 01 1 1

0 1 1 10 0 1 1 01 0 0

0 1 1 10 0 1 1 10 1 1

0 1 1 10 0 1 1 10 1 0

0 1 1 10 0 0 1 01 1 1

0 1 1 10 0 0 1 01 0 0

0 1 1 10 0 0 1 10 1 1

0 1 1 10 0 0 1 10 1 0

1 1 0 01 1 1 1 01 1 1

1 1 0 01 1 1 0 01 0 0

1 1 0 01 1 1 1 10 1 1

1 1 0 01 1 1 1 10 1 0

1 1 0 01 0 0 1 01 1 1

1 1 0 01 0 0 1 01 0 0

1 1 0 01 0 0 1 10 1 1

1 1 0 01 0 0 1 10 1 0

1 1 0 10 1 1 1 01 1 1

1 1 0 10 1 1 0 01 0 0

1 1 0 10 1 1 1 10 1 1

1 1 0 10 1 1 1 10 1 0

1 1 0 10 0 0 1 01 1 1

1 1 0 10 0 0 1 01 0 0

1 1 0 10 0 0 1 10 1 1

1 1 0 10 0 0 1 10 1 0

1 0 1 01 1 1 1 01 1 1

1 0 1 01 1 1 0 01 0 0

1 0 1 01 1 1 1 10 1 1

1 0 1 01 1 1 1 10 1 0

1 0 1 01 0 0 1 01 1 1

1 0 1 01 0 0 1 01 0 0

1 0 1 01 0 0 1 10 1 1

1 0 1 01 0 0 1 10 1 0

1 0 1 10 1 1 1 01 1 1

1 0 1 10 1 1 0 01 0 0

1 0 1 10 1 1 1 10 1 1

1 0 1 10 1 1 1 10 1 0

1 0 1 10 0 0 1 01 1 1

1 0 1 10 0 0 1 01 0 0

1 0 1 10 0 0 1 10 1 1

1 0 1 10 0 0 1 10 1 0

1 0 0 01 1 1 1 01 1 1

1 0 0 01 1 1 0 01 0 0

1 0 0 01 1 1 1 10 1 1

1 0 0 01 1 1 1 10 1 0

1 0 0 01 0 0 1 01 1 1

1 0 0 01 0 0 1 01 0 0

1 0 0 01 0 0 1 10 1 1

1 0 0 01 0 0 1 10 1 0

1 0 0 10 1 1 1 01 1 1

1 0 0 10 1 1 0 01 0 0

1 0 0 10 1 1 1 10 1 1

1 0 0 10 1 1 1 10 1 0

1 0 0 10 0 0 1 01 1 1

1 0 0 10 0 0 1 01 0 0

1 0 0 10 0 0 1 10 1 1

1 0 0 10 0 0 1 10 1 0

Lo que esto nos muestra es que, siendo que la forma que se puede dar a un enunciado o a más de uno no es necesariamente una sola, al momento de dársele alguna sera menester atender a algún método que venga al caso. Es decir que esta forma no nos sirve para ver la validez porque nos da un enunciado sintético, no analítico. Téngase en cuenta que las respectivas formalizaciones se corresponden del siguiente modo:

por tanto:

Como en la forma de funciones veritativas no se vé cómo se produce la implicación, recurrimos a las letras de predicado, dándole al silogismo la forma:

La conclusión, lo único que dice es que –dado que la única variable no cuantificada en el post referido 'z' recibe una cuantificación universal- si ‘w’ recibe la relación ‘G’ con cualquiera, también lo hará de la manera ‘H’. Esto debe admitirse si se aceptan las premisas. La primera nos afirma que debe admitirse que alguien (‘y’ está cuantificado existencialmente) recibe la relación ‘H’ con cualquiera, siempre que suceda que también recibe las relaciones ‘G’ y ‘F’, conjuntamente, en el mismo sentido. La relación ‘F’ de cualquiera con respecto a ‘w’ está satisfecha en las mismas premisas, en particular en la segunda. Así, si ocurriera que ‘Gzw’, no podría ocurrir que no ocurriera ‘Hzw’ sin contradecir la primer premisa dado que se estaría afirmando la conjunción de ‘Fzw’ y ‘Gzw’. Suficiente por este post.